Question

ほのか

数列の問題、(3)についてです。
画像3枚目の解説、青線部が分かりません。
第2N項までなのに、N項までしか書いてないような気がします。自分でも何が何だか分からないです。
解説よろしくお願いします。長くてすみません。

理2(【数列】2つの数列の共通項からできる数列)
(1) anが, n個の正の奇数1,3,5,…,2n - 1の和, すなわち
数学 標準問題
N
nを自然数とする。
n
=1+3+5+ …+ (2n - 1)
であるとき, anを求めよ.
救列(bn)の初項から第れ項までの和をS.とするとき,
S.= (3n? - n) (n=1, 2, 3, …)
2
が成り立っている。
b」を求め,さらにbnを求めよ.
/2)(1)のanで定まる数列{an}と(2) の数列{bn}のいずれにも含まれる項を,小さいものから順に並べて得ら
れる数列を
C1, C2, C3,
レする。Nを自然数とするとき, 数列{cn}の初項から第2N項までの和を求めよ。

数学 標準問題(採点基準)
理2|(【数列】2つの数列の共通項からできる数列)
nを自然数とする。
(1) anが, n個の正の奇数1,3,5,…,2n - 1の和,すなわち
an =1+3+5+…+(2n - 1)
であるとき,anを求めよ。
(2) 数列{b}の初項から第れ項までの和をS』とするとき,
S,= 3n? - n)(n=1,2, 3, …)
2
が成り立っている。
b」を求め,さらにb。を求めよ。
(3)(1)のa』で定まる数列{a,}と(2) の数列{b,}のいずれにも含まれる項を,小さいものから順に並べて得ら
れる数列を,
C1, C2, C3, …
とする.Nを自然数とするとき,数列{ cn}の初項から第2N項までの和を求めよ。
「答」
理|2
an = n'
bn = 3n - 2.
(3) N(6N° -1).
解説
理|2
【解答)
(1) anは初項1,末項2n - 1, 項数nの等差数列の和であるから,
{1+ 2n - 1)
2
an
=n?
採点基準答 an=n°に …8点
bi = Siであり,
S.=
(3n?
n)
より,
3-1 - 1)
bi = Si =
採点基準答 b1=1に…5点
また, n 22のとき,
b,= S, - Sn-1
採点基準 6,=S,- Sn-1(n22)に…7点

- 3n -
n-
= 3n - 2.
これは, n = 1のときも成り立つので,
b, = 3n - 2.
採点基準答 bn=3n-2に …5点
く道しるベ>
{b}は3で割った余りが1となる自然
数からなる数列なので, an = n?を3で
割った余りを調べる。
b,= 3n - 2より,数列{bn}は3で割ると1余る自然数を小さいものから順に並べた数列である。
a,= n'を3で割った余りを調べる。
nを3で割った余りで分類すると,
(ア)
n= 3m(m = 1, 2, 3, …)のとき,
n? = (3m)? = 3(3m?).
(イ) n= 3m +1(m= 0, 1, 2, …)のとき,
n° =(3m +1 )?
= 9m? + 6m+1
= 3(3m? +2m)+ 1.
(ウ)
n= 3m +2(m= 0, 1, 2, …)のとき,
n° = (3m + 2 )?
= 9m? + 12m + 4
= 3(3m? + 4m+1)+ 1.
よって, n'を3で割った余りは,
|0(nが3の倍数のとき),
1(nが3の倍数でないとき)
となる。
採点基準 n が3の倍数でないとき、n'を3で割った余りが1であることの論証に…4点
したがって、
nが3の倍数でないとき, an = n'は数列{bm}に含まれ,
nが3の倍数のとき, a, = n'は数列{b}に含まれない。
採点基準数列{bm}の把握に…·6点
これより,数列
Ci, C2, C3, …
は,3の倍数でない自然数の平方を小さいものから順に並べた数列であり,その初項から第2N項までは
|1?,22,4?, 5?,…、(3N -2 )?, (3N-1)?
となる。
よって,求める和をTとすると,
T=(1? + 2?) +(4° + 5?) + …+ {(3N - 2)? + (3N - 1)}
採点基準 Tの式に…5点
(3k - 2 )? +(3k - 1)}
218k
18k + 5)
k=1
N
N
18 - 18k + 5
k=1
=1
k=1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

画像貼りますね

ほのか

なるほど！！理解出来ました！ありがとうございます！✨

かき

よかったです❗️
また何かあればどうぞ😊