9 球面と直線
jであり、Pとい
座標空間の3点0(0, 0, 0), A(1, 1, 1), P(1, 1, a)を考える。
である。
コの場合である。
の距離は
(近大
ただ1つの共有点を持つ)のは,(a, r)= コ
球面と直線が接する
接点は「OA上でPにもっとも近い点Q」であり, 半径rは PQの長さになる
ここでは PQPを計算してQの座標と半径を求めるが, OALPQに着目して
求めてもよい(OQ は OP の OAへの正射影ベクトルである.公式を覚えて
いる人は使ってもよい)。
球面と座標軸が接する場合の接点の座標は計算せずに求められる.解答のよ
うに,図形的に考えよう。
点Pを中心とする球面Sと直線OA が接するとき。
■解答
(1)Qは直線OA上の点なので OQ=1OA (tは実数)と表せる.このとき。
IPQP=10Q- OP/P=11OA-OP/P=?1OAP-210A-OF +IOF |P
=3t2-2(2+a)t+(2+a°)
tOA
A
Q
(2+a)?
+(2+α)=3(1-25)+
tを求めたいので, tの次数にと
整理するのがよい。. tOA-G
の成分を書くのは損。
2+a
1-リ-(24)-3(1-24a)+ 20-4d+2
3
=3| t-
のとき最小になる。. OQ=t0A のェ成分はtだから,
3
2+a
PQ はt=
2a-4a+2
(2(a-1)
12
2+a
で, PQ=
3
-la-1|
Qのェ座標は
V3
3
P'はPの真下(or 真上)の点
3
図2
(2)Pを中心とする球がェ軸,
軸に接するから, zy平面での
断面は図2になる。. よって, 接
点はH(1, 0, 0), I(0, 1, 0)
となり,パについて
PQ?=PH°(=PI2)
図1
P
P
H
ロ
H
2a°-4a+2
0|
H
: α'+4a+1=0
. a=-2±V3
3
全PH=
-1
121a-11=
12
/3
答えは(a, r)=(-2+/3, 16-/2), (-2-/3, /6+/2)
(1)よりr=
V3
V2
(3千/3)=/6 千/2 だから 白複号同順
1-3±131=5
-a
09 演習題 (解答は p.50)
リ2空間に点C(0, 2, 2) を中心とする球面 z?+(y-2)2+(z-2)?=1 と点
A (0, 0, 3) がある. 球面上の点Pと点Aとを通る直線がzy平面と交わるとき,その父
点をQ(a, b, 0) とする.
1)点Cを通る直線が直線 AQ と垂直に交わるとき
AH=kAQ を描力
2の
