Question

燕脂な園児

(2)について2つほど質問があります。

1、mの場合は3m±1と表しているのに対し、nの場合　　は3n+1と3n-1をどちらも証明しているのは何故でしょうか。

2、今まで私が解いてきた「奇数である」や「○の倍数である」の様な証明は±をどちらも証明した○n-1と○n+1どちらも証明することがなかったのですが、何故この問題では+と-どちらも証明する必要があるのでしょうか？

教えていただけるとありがたいです。

「整数 a, bについて,aまたはbが3で割り切れない
(2) もとの命題の対偶は,
生めで用す
a
ならば,a'+6°は3で割り切れない」
となるので,これを証明する。
nを整数とすると,
SA 36 に
m,
5=3m±1, b=3n のとき まず,aが3で割り切れない
さ +6=(3m±1)?+(3n)?
=9m°±6m+1+9n°
場合を調べる。
( 「3で割り切れない」 は
-3(3m土2m+3n°)+1 (複号同順)
ケニン り
「探3m*±2m+3n° は整数であるから, α'+6°は3
3m+1, 3m+2あるいは
3m-1, 3m+1と表せる。
ここでは3m-1と3m+1
で割り切れない.
(i)a=3m±1, b=3n-1 のとき選 a のく 37
a°+°=(3m±1)?+ (3n-1)?
=9m?±6m+1+9n-6n+1 さ 4
=3(3m*±2m+3n-2n)+2 (複号同順) 然自
4
3m土2m+3n"-2n は整数であるから, α'+b°
は3で割り切れない。
a=3m土1,b=3n+1 のとき 3ー + 原
a+6°=(3m±1)?+ (3n+1)
(9
ま ( 日9m土6m+1+9n°+6n+1
2-=3(3m°±2m+3n?+2n)+2 (複号同順)
3m土2m+3n。+2n は整数であるから,α'+6°
は3で割り切れない。
(iv)(i)~)において, aとbを入れかえてもa°+6° 次に, bが3で割り切れない
は同じ値となる。
したがって,(i)~(iv)より, aまたはbが3で割り切れ
ないならば,a+6°は3で割り切れない。
よって,対偶が証明されたので,もとの命題も成り立
12.県頭
ケ購歴被 場合を調べる。
b=3m±1, a=3n
b=3m±1, a=3n-1
b=3m±1, a=3n+1|
つ。
10:36
s +ューd+ (1)
(3)もとの命題の対偶は,
「整数 a, bについて, a, bがともに2の倍数でない。3-(1-TWo 9
ならば,積 ab は4の倍数でない」
となるので,これを証明する。
a, bはともに2の倍数でないから,
a=2m+1, b=2n+1 (m, n は整数)
bed
+コー+
とおくと,
0b-
ab=(2m+1)(2n+1)
=4mn+2m+2n+1
=2(2mn+m+n)+1
ここで,2mn+1m+n は整数であるから, abは奇数
となり,4の倍数でない。
もケ 減
*つて, 対偶が証明されたので, もとの命題も成り立b-d,J
す外
T6to
つ。

対偶を証明することにより,次の命題を証明せよ。
整数nについて, n*が2の倍数ならば, nも2の倍数である無理である
19) 整数a,bについて, α*+b° が3で割り切れるならば、a, bはともに3で
割り切れる
合がるるよす野対 を 0
(3) 整数 a, bについて, 積ab が4の倍数ならば, aまたはbは2の倍数であ
る
3D3+5/3 を満たす a, bの他
→p.276 10) 11) 12

Answer 1

ある

1、一つの解答にまとめられるのならmもnも ±で表してもいいですよ。ただ、それだと複号同順という言葉が使えません。複号任意という言葉を使いましょう。

ある

すみません、複号任意でもおそらくダメですね。やはり、mとnを一気に±で一緒に計算していないのは複号同順という言葉が使えないからではないでしょうか。正直私にはそれ以外の理由が見つかりません。。。

2、奇数であるなら2n-1で全ての奇数は表せますが、3の倍数でない数は3n+1、3n-1の2通りあるからです。どちらか片方だけだと「または」の全ての要素を表せずに証明として不十分となってしまいます。