そもそもx³-y³などの累乗の差は対称式ではなくて、交代式ですよね。
対称式は基本対称式で表せますが、交代式はそうではないです。
でも交代式はx-yで因数分解できて、残りの部分は対称式になるので、残りの部分は基本対称式で表せます。
http://www.mathlion.jp/article/ar043.html
数学
高校生
模試で対称式の問題が出た時、二乗+二乗や三乗+三乗は公式覚えてるんですが、4乗以降の累乗の和や、二乗－二乗は分かりますが、三乗以降の累乗の差が出題された時、どう和と積で表すかのやり方を教えて欲しいです。
回答
例えば、
x⁵+y⁵
の場合、僕はとりあえず、
「5=2+3だから…」
と考えて、
x⁵+y⁵=(x²+y²)(x³+y³)-(辻褄合わせ)
とします。辻褄合わせの部分は実際に右辺を展開して決めます。
x³-y³も同様で、
「3=1+2だから…」
と考えて、
x³-y³=(x²+y²)(x+y)-(辻褄合わせ)
としたいところですが、これでは-y³が出てこないので、
x³-y³=(x²+y²)(x-y)-(辻褄合わせ)
とします。あとは先程と同様です。
なるほど。最初にどうすれば掛けてこの次数になるか考えて(符号に注意して)、それから大体の概形を作って、そこからちょっと工夫して何を引いたらいいのかを展開して考えていくってことですかね？
でも、これでも結構時間掛かりそうな気がするので、事前に色んな対称式の問題でやり方を慣れるしかないですね、。
https://manabitimes.jp/math/831
その通りです。少し練習を積めば慣れると思います。
前の方が対称式についてのトピック、また一般に成り立つ公式が掲載されたサイトを載せていらっしゃいます。対称式の性質は知っておくと方針を立てるのに便利なので、目を通しておいて損はないと思います。
ただ、二変数の公式に関しては当たり前すぎるので、字面をそのまま覚える必要は皆無だと思いますし、三変数の公式はそもそも使う頻度が少ないと思います。私はどれも覚えることなく大学生になりました。
それでは毎回自分で式を作って解いてたんですか？
そうですね。まぁ「自分で式を作る」とは言うものの、先程説明した例と同じやり方でほとんど(ほぼ100%?)作れるので、慣れたら何も考えずに出来るようになると思います。
疑問は解決しましたか？
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より次数が増えても基本は同じで、「大雑把に決めて後に辻褄合わせ」で何とかなります。