Question

mask_rin

画像の式の証明ができないので、詳細に導出過程を教えてください。
その際に、置換に関する公式や性質なども併記していただけるとありがたいです。
証明へのアプローチの仕方はなんとなく、
数学的帰納法が使えそうな気がするくらいしか思いつきません。
また、画像に必要最低限な説明を載せています。

n次正方行列:A 3 [ai;]n
れメh
行リ式の先義:det A= Epmoairenairn…anrm)
ケ
1:0の逆置挨とすると、
det A: E4nを a rいasはけ2azcmn
Ww
azeni az)2
azcnn について、
2
n
い
U),て12),··て(た)を小さい順に並でたものを、 =
しuフ2いいし2 0フ2
i
くょく…くえとる.
(友くれ)
また、差準合れ,2,…っカ子く伝っなっ…, ig}さ
トさい川順に並べたものを
テくえく…くえのーえ とすると、
1 2 …た友+1 たt2 … m
yn
, て2·..え .,。
6-)+(iz-2)t…+(ig-F)
= (-1)
ln-t
今回、証明したい式
具体的に、れこ10,たこヶとして、
10
1 23 4 56 7 8910
23 4 5,
Z-
63479 / 10 5 2 8
Iイ2) 1(3) 1(+) E(5) … t))とれば、
2314 69 8 10 5 7
n
)=
= (-1)
346 7 1 2 5 8 9 10
11

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

一番下の式は間違えています。ピンクの下線部が示したい式ですから、
signの一段目は(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)です。

以下iﾊﾞｰをjと表記します。
ピンクの下線部の言っていることは、
i1,i2,i3,...,ik,j1,j2,j3,...,jn-k
を並び替えて
1,2,3,4,...,n
にするのに互換を何回すればいいか、ということです。

画像で上げた例だと
3,4,6,7|1,2,5,8,9,10
を並び替えて
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
にします。
まず7を正しい位置(左から7番目)に移動させます。
3,4,6,7|1,2,5,8,9,10
3,4,6|1,7,2,5,8,9,10
3,4,6|1,2,7,5,8,9,10
3,4,6|1,2,5,7,8,9,10
このように順に右にクルクル互換させて移動させます。
必要な互換の数は7-4=3回です。これは7があった場所:左から4番目から7があるべき場所:左から7番目まで一回の互換でひとつずつ右にずれるからです。
次に左から3番目の6を同様にあるべき場所：左から6番目に移動させます。
同様に互換を6-3=3回行って
3,4|1,2,5,6,7,8,9,10
次に左から2番目の4をあるべき4番目まで移動させるのに
互換を4-2=2回行うと
3|1,2,4,5,6,7,8,9,10
最後に左から1番目の3をあるべき3番目に移動させるのに
互換を3-1=2回行って、すべての並び替えが終了します。
合計で必要な互換の数は
(7-4)+(6-3)+(4-2)+(3-1)になって、その符号は
(-1)^{(7-4)+(6-3)+(4-2)+(3-1)}
になります。

一般の場合でも同じです。
まずi_kを正しい位置に：i_k - k
次にi_(k-1)を：i_(k-1) - (k-1)
...
i_2を正しい位置に：i_2 - 2
i_1を正しい位置に：i_1 - 1
で導出できた。

一応詳しく言うと、i_1~i_kたちは
i1<i2<i3,...だから上の方法で移動させれば、正しい位置に配置される。
jたちは受動的に移動させられたが、移動のさせられ方から、j1,j2,j3,...は移動後でも同じ位置関係にある。
(j1はjたちの中で一番左だし、j2はjたちの中で左から2番目だし...)
よって、iたちが正しい位置に配置されて、残りの部分にjたちが左から順にj1,j2,...と配置されて、
j1<j2<j3<j4<,...
であったから、これでjたちも正しく配置されている。

mask_rin

返信が遅れてしまい申し訳ありません。

1行目の解説から理解することができなかったため、
1週間程度の時間を空けていました。

見返した際は、ようやくミスに気づいて以降、
計算の目的、及び詳細な解説のおかげで全て理解することができました。

懇切丁寧な解説をしていただきありがとうございました。