2番で、nがaよりも大きいと仮定してるのはわかるのですが、aがnよりも大きい

数学

高校生

解決済み

3年以上前

2番で、nがaよりも大きいと仮定してるのはわかるのですが、aがnよりも大きい場合もあると思います。
この場合、はさみ撃ちができなくなるのですが、どうしてnがaよりも大きい場合は考えなくても良いのですか？
分かりにくくてすみません、、、

0 ート 1. 正の実数rについて, 以下の問いに答えよ。 (1) 自然数n に対し,不等式 e"> が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。(1) 回目に開らを求めよ。ただし, aは実数の定数である。 iu (2) 前問で示した不等式を用いて極限値 lim (3) 前問の結果を用いて極限値 lim z'log a を求めよ。ただし, bは正の定数である。 Ta-L/(mol·K) 0+←2 (1ou)/7-01 × 1670

数学 | 解答(1) fnlx)=e*-- とおく。このとき iu が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す。 [1] n=1のとき, f(x)=e*-xより, xの関数f(x)をxで微分すると f(x)=e*-1 0 iく, このとき,fi(x)は単調増加であり f(0)=1>0 x>0であるから e*>1 したがって )-ー0 く 2mil kmil ゆえに,x>0において, f(x)>0であるから,(*)は成り立つ。 [2] n=k のとき, fa(x)>0が成り立つとするとデー>0 iY PE 北セ+1 である。このとき, x>0において, fe+1(x)=e*ーをxで微分するとく k+1 iY このとき,fa+1(x) は単調増加でありは成り立つ。以上[1], [2] により,(*) はすべての自然数nに対して成り立つ。 (証明終) よって,題意は示された。 ,>0である。このとき, (2) x>0 において. nは自然数であるから, (1)の不等式の辺々の逆数をとると,任意の自然数nに対してに募日4は下か iu

が成り立つ。n-a>0であり, 定数nに対してxの値を無限に大きくす分こ( が成り立つ。いま, 定数aに対してa<nである自然数の定数nを考さると,①の辺々に正の数x" をかけて iu n!x JMS YO)S り D-uX >0 よって、はさみうちの原理により 04ューー(x) 6301-n[!) (易)…… 0= ると ju lim 0= 0-u X o-x ○○-1 lim e x ゆに >0に )>0 。 (3) t=-logxとおくと, x→+0のとき limx'logx=lime-bt. (-t) 1 bt (3) HードO 19- x=e-tであるから o- 0+-X bt =lim 19 0= lim (2)の結果より,a=1のときを考えると limx*logx=0 bt 8←? (答) よって 0+-X バー

回答

✨ ベストアンサー ✨

緑茶

3年以上前

結構論理がややこしいので、上手く説明できる自信がありませんが、頑張ってみます。

(2)の極限値は「任意の実数aに対して」0になればよく、自然数nは(2)に関しては関係ありません。
しかし、導出過程ではさみうちの原理を使うため、そこで自然数nが必要になってくるわけです。
実際、はさみうちの原理の不等式(3枚目の3行目の不等式)には自然数nが入っています。しかし求めたいのはあくまで(2)の極限値であり、この不等式は「任意の自然数nで」成り立つ必要はありません。(もちろん「任意の実数aで」成り立つ必要はあります。)実数aに応じてa<nを満たす自然数を１つでも取ってくればよいのです。そのため例えばnの代わりに[|a|]+1とかでも全く問題ありません。

まとめると、aに応じて都合よく取った自然数nに対して、はさみうちの不等式が成り立つ。aは任意に取っているから、結局「任意の実数aに対して」はさみうちの不等式は成り立つ。よって、「任意の実数aに対して」(2)の極限値=0となる。
こういう流れです。

ちなみにこの論理構造は大学で学ぶ「ε-N論法」や「ε-δ論法」とよく似ています。もしかすると理解の手助けになるかもしれません。

分りづらいとは思いますが、少しでも参考になれば幸いです。
何か分からないことがあれば教えて下さい！