Question

あう

[線形代数]画像の問題よ解説を聞きたいです！

問題 3. 四面体OABC について, 次の問いに答えよ。
(1)線分 OA の垂直二等分面のベクトル方程式を求めよ。
(2) 線分 OA, OB, OC の垂直二等分面の交点をPとする.Pは線分 AB, BC, CA の垂直二等分面上の
点でもあることを証明せよ、ただし,交点Pが存在することは仮定しても構わない。
※ 垂直二等分面とは,空間内の2点を結ぶ線分の中点を通り,その線分に垂直な平面のことである。

数学 線形代数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

OAベクトル を𝒂
OBベクトル を𝒃
OCベクトル を𝒄とする

(1)
𝒓 : 面上の任意の位置ベクトル
𝒂/2 : 面が通る点の内一つの位置ベクトル, OAの中点
(𝒓-𝒂/2) : 面上のベクトルの全てを表す

面上のベクトルと𝒂が垂直となるには内積が0となればよい

OAの中点を通り𝒂と垂直な面のベクトル方程式は
(𝒓-𝒂/2)･𝒂= 0

(2)
OPベクトル を𝒑とする
交点Pが存在するとき𝒑は
(𝒑-𝒂/2)･𝒂 = 0 …①
(𝒑-𝒃/2)･𝒃 = 0 …②
(𝒑-𝒄/2)･𝒄 = 0 …③
を満たす

②-① より
𝒑･𝒃 - 𝒃²/2 - (𝒑･𝒂 - 𝒂²/2) = 0
⇒ (𝒃-𝒂)･𝒑 - (𝒃²-𝒂²)/2 = 0
⇒ {𝒑 - (𝒃+𝒂)/2}･(𝒃-𝒂) = 0

これは𝒑が
ABの中点を通り,ABベクトルと垂直であることを示している
同様にBC,CAについても証明できるから
Pは線分AB,BC,CAの垂直二等分面上の点である