基本例題31
る。
指針>点0から直線に下ろした垂線の足 とは, 下ろした垂線と直線との交点のこと。
|鋭角三角形 ABCの外心0から直線 BC, CA, ABに下ろした垂線の足を, それ °73
ぞれ P, Q, R とするとき, OF+20Q+30R=0 が成立しているとする。
三角形 ABC の外心0 に関するベクトルの問題
429
OA+40B+3OC=0 が成り立つことを示せ。
内積 OB-OC を求めよ。
(3) ZA の大きさを求めよ。
【類京都大)
基本 15
1)まず OORをA Cで表すことを考える。
ここで,円の中心から弦に引いた垂線は,弦を2等分する。したがって, 3点P, Q, R
は、それぞれ辺BC, CA, AB の中点である。
(2)(1)の等式から |50A|=|40B+30C|として, 両辺を2乗すると, O·OC が出てくる。
ここで,△ABC の外心0→OA=OB=0C を利用。
(3) ZA は弧 BC に対する円周角→2×(円周角)3 (中心角)=DZBOC から。
1章
こきは
る。
は辺 AB上
の中国。
解答
(1) 3点P, Q, R は,それぞれ辺 BC,
CA, AB の中点であるから
A
OB+OC
OQ=
2
OC+OA
Q
4三角形の外心 一辺の美
に等分線の交点。
OP=
R
0
2
OA+OB
OR=
2
C
B
P
15AL
これらをOF+20Q+30R=ó に代入
OB+OC
分割)
OA+OB
+2(OC+0A)
=0
2
して
両辺に2を掛けて整理する。
(数学
2
2
ゆえに
50A+40B+3oC=ó
50A=-(40B+30C)
5|0A|=|40B+3oC|
25|0A=16|0BP+240B·OC+9|ocP| 両辺の
(2)(1)の結果から
4ka|=|||a|(k は実数)
が消し合う。
よって
両辺を2乗して
OB-OC=0
1OA|=|0B|=|oC|であるから
(3)(2) から
(3) 鋭角三角形の外心と頂点
は,その頂点の対辺に関し
て同じ側にあるから, 鋭角
三角形の外心はその内部に
ZBOC=90°
ZAと ZBOC は弧 BC に対する円周角と中心角の関係にあ
リ, AABC は鋭角三角形であるから, 弦BCから見て点A
と点0は同じ側にある。
DA+8A
ある。
1
よって ZA=-BOC= ×90°=45°
3点A, B, Cが点0を中心とする半径1の円周上にあり,
130A+120B+5OC=0 を満たす。 ZAOB=a, ZAOC=βとするとき
(1) OB」Cであることを示せ。
「目崎士)
位置ベクトル、ベクトルと図形
とても納得しました！！
ありがとうございます！！！！