Question

COCO🐰

数学的帰納法のN＝Kのときと証明の部分で、左辺と右辺に分けて計算してその２つが等しいことを証明するときの左辺の計算がよくわからないので教えて欲しいです。

A問題
249 nは自然数とする。 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。
数p.105 例題1
*(1) 1+5+9+…+(4n-3)3Dn(2n-1)
1
*(2) 12+3°+5°+…+(2n-1)°=→n(2n-1)(2n+1)
(3) 1-3+2-4+3-5+…+n(n+2)=ーn(n+1)(2n+7)

(2) [1] n=D1のとき
左辺=1°=1,
右辺=
1.(2.1-1)(2·1+1)=1
よって,n=1のとき,(A)が成り立つ。
[2] n=kのとき(A)が成り立つ, すなわち
+(2k-1)?
12+3+5?+
-k(2k-1)(2k+1)
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの
(A)の左辺は
1°+32+52+ +(2k-1)?
+(2(k+1)-1}?
-k(2k-1)(2k+1)+(2k+1)?
ニ
-(2k+1}k(2k-1)+3(2k+1)}
三
=(2k+1(2k°++5k+3)
1
=(2k+1Xk+1)2k+3)
3
n=k+1のときの(A)の右辺は
1
-(k+1)(2(k+1)-1}{2(k+1)+1}
=(2k+1X&+1)(2k+3)
よって, n=k+1のときも(A)が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数 nについて(A)が
成り立つ。