Question

おでん

微分方程式の問題です。
解答の蛍光部分が分かりません。ご回答されると嬉しく思います。よろしくお願いします

=(t) に関する微分方程式
de
-22? +t-?, t>0
dt
を考える。
(1) v(t) = {z(t) - t-'}-! とおき u(t) に関する微分方程式を作れ、ただし豊をtとuで表
わせ、
(2) (1) で求めた微分方程式は非斉次微分方程式であるが,その定数項を無視した斉次微分方
程式の解 i(t) を求めよ。
(3) C(t)ò(t) が (1) で導いた微分方程式を満たすように C(t) を定めよ。
(4) z(t) を求めよ。
(5) (1) =1 となる解を求めよ。

1.
1
1
1
両辺を v(t)
(*)より, z(t)
t
ニ
0(t)
告+さ
-2.2 + さ+を
de
dc
du
(*)の両辺をtで微分して,
dt
dt
dt
1、2
2
= 20°
20°
02
4
2+
t
20?
ニ
ニ
ニ
22
tu
U
(ギ-)。
「キ-/
4
du
e() - () = 0 を解くと。
より,v(t) = Ct.
よって,(t) = .
(2) からが(t) = 4t°. (1) から (C(t)ò(t))' = 2+ -C(t)ò(t).
4
(C(t)(t)'= C'()ā(t) + C(t)d(t) = C'(t)f* + 4C(t)f° - 2+;C()e* より,C'(t)t4 = 2.
よって,C(t) =
2
+ C1.
ニ
3t3
2
0(t) = C(t)6(t) = Cit* -
(t) =;*て-
3Cit+t
t(3Cit - 2t)
3Cit+1
3C」t - 2t
1
1
1
3
3Cit4 - 2t
3C1 +1
-1を満たすCiは存在しないから,この解では(1) = 1 を満
(4) で (1)
たすことができない。
(4)で,C = ±xのとき, a(t) = でa(1) = 1 を満たす解である。
3C1 -2
1
なお,(1) では,(t) + ; の場合が求められており,結局,2(t)
期条件 a(1) = 1を満たす解であることがわかる。
1
の場合だけが,初
t
ニ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

簡単ですね。
これはいわゆる定数変化法というものです。
まずは斉次方程式の解をv~(t)とした時に、
ここの任意定数Cをtの関数とみて計算して非斉次方程式の解を求める手法です。
(2)までは理解できたとします。
v(t)=C(t)v~(t)として、１番の非斉次方程式に代入すると赤マークの部分になるわけなんです。

おでん

v(t)=c‥(t)というのはどこの部分のことでしょうか？

哲治

マークの部分です。

哲治

つまり求めたいのは
v'=2+(4/t)vという非斉次方程式の解vなわけですね。
ここで
(v~)'=(4/t)(v~)という定数項を無視した斉次方程式の解v~を求める。
そしてそこから
v(t)=C(t)v~(t)として定数変化法でv(t)を求めるという流れになります。

おでん

ご解答ありがとうございます。