Question

しゅう

(4)と(5)がわかりません

演習問題5
放物線 C:y=エ。がある。
(1) 焦点Fの座標と準線1の方程式を求めよ。
(2) C上の点P(t, t) (tキ0) と焦点Fを通る直線mの方程式を求
めよ。
(3) t>0 のとき, 直線mとCのP以外の交点をQとする. Qのエ
座標をtで表せ,
(4) 線分 PQの長さをしで表せ。
(5) 線分 PQの長さの最小値を求めよ。

(1) Pから直線 y=5
PH
,P(x,y)
また, PF°=r°+(y-/5)?
V5
2
PH より
4PF=5PH
F
PF=
H
4
75
(ソーー4(+(ー/5))
O
5y°-8/5y+16=4.r°+4y°-8/5y+20
4.rーy=-4
よって、Pの軌跡は双曲線.
(2) P(p, q)における接線は
Q
……の
4pr-qy=-4
また,漸近線は,y=2.r…②
と =-2x
の, 2の交点のェ座標は
RY
O
-2
4pエ-q2.z=14 より
T=
2p-9
の, 3の交点のェ座標は
4pz-q(-2.z)=-4 より
-2
-2
2p-4
よって,点Pは線分 QR の中点。
エ=
2p+q
-8p
4がーg
-2
2p+q
=20 (4がーg=-4 より)
5
(1) 4×リ=だから, F(0, 4).
I=f:1
2-
4
4t°-1
1
(2) y=
y=
4t
t-0
4
4t-1
1
-エ+
4
=2x
(3) =
= 4t-(4t-1)エ-t=0
4t
Qのr座標をsとおくと, 解と係数の関係より
(ゲa)
E
PEx
s=-
1
st=-
4t
Q
(4) P, Qから1におろした垂線の足をそれぞれ, H, K と
すると,定義より,
h0
K
H

(コ
13)
0-
234
演習問題の解答 (⑥~12)
: E
PQ=PF+FQ=PH+QK
ZABC=へ
ニー
=ビ++。
16t
2
:AABI
なんこ相かり
(5) 相加平均, 相乗平均の関係より
x
1
1
22
1
162
16
1
162
PQの最小値は1
等号は,ゼ=, すなわち, t=号のとき成立するので。
右図より
2
相名平ヲを
使つのつ
ウセらないてす
6
10
(1) 放物線 4py=° の焦点は
(0, p) だから,
また,準線はy=-1
(2) 定義より, TF=TH だから, △FTHが正三角形となると!
き, Fから THにおろした垂線の足は, THの中点。
DAos
COS
p=1
てrsin
O
2
=1
H
t>0 だから, t3D2V3
このとき, 正三角形の1辺の長さは4だから,
求める面積は
.4°.sin60°=4、/3
2
よって, 右
7
1
右図より,(1, 0), (-/3, -1) を極座標で表すと, それぞれ
1 余弦定
7π
また。 Zom(一号)-1,25im(一号)--/3
6
, 2cos
7元
6
2) PAか
=1, 2sin
ゆえに,(2
. -を直交庫標で表すと
3
2
8
(1) 余弦定理より
よって
AB=3+4-2/3-2·cos=1
12
AR=1
右岡

数学iii 基礎問題