Question

εïз

質問です！
(2)のtの範囲を求める時に平方完成して求めるのは何故ですか？

9
難易度 ★
目標解答時間
9分
太郎さんと花子さんは, 次の問題について考えた。
問題
xの関数 f(x) = (x-6x+10)?+4(x-6x+10)+6 の最小値を求めよ。
この問題を,太郎さんは次のように解いた。
r[太郎さんの解答】-
t=x°-6x+10とおくと f(x) =D+4t+6
さらに, g(t) =Dピ+4t+6 とおくと g(t) = (t+2)2+2
よって, f(x) の最小値は2である。
(1) この解答を見た花子さんは,S(x) = 2 となるxの値を求めようと考えた。
f(x) = 2 となるとき,t=D[アイ]であるから x-6x+ ウェ]=0…0
2次方程式Dの判別式を Dとすると
Dオ]0
よって, 2次方程式①は実数解をもたないから, f(x) =2 となる実数xは存在しない。
アイ」
ウエ]に当てはまる数を求めよ。また,
オコについては, 当てはまるものを, 次のO
ののうちから一つ選べ。
O < 0 -
の>
(2) 太郎さんと花子さんは t=x-6x+10 と置き換えたときのtのとり得る値の範囲に制限があ
ことに気づき,それをもとに改めて解き直すことにした。
xが実数のとき, tのとり得る値の範囲を求めると, t>カ]である。
このことに注意すると, f(x) は x= キ]
のとき最小値クケ]をとることがわかる。
カ
キ
クケ」に当てはまる数を求めよ。
シ
である。
(3) 1Sx<4 における関数f(x) の最大値は コサで, そのときのxの値は
(公式·解法集

9
置き換えと2次関数の最大 最小
間
(1) f(x) = 2 となるとき
(t+2)?+2=2
(t+2)?= 0
よって t=2
t= x°-6x+10 より
x-6x+10 =-2
x-6x+12 =0 ①
のの判別式をDとすると D=D(16)?-4·1·12 =-12
よって,D<0 (①) より, ①は実数解をもたないから、
f(x) = 2 となる実数xは存在しない。
(2) =x-6x+10= (x-3)?+1
よって,tのとり得る値の範囲は t21
このことに注意すると, t>1 における
9(t) = (t+2)?+2 のグラフは右の図の実線部分のよ
うになるから,t=1 で最小値11をとる。
A
2次
別式
であ
9()↑
11
t=1 のとき
Sあケ 0
(x-3)?+1=1
(x-3)?= 0
よって,f(x) は, x=3 のとき最小値11をとる。
(B
x=3
t2
-201
のケ
1SxS4 における, t=(x-3)?+1 のグラフ
は,右の図の実線部分のようになるので, tのと
はり得る値の範囲は
t4
1Sts5
とす。
1
0
1
34
次に,1Stハ5 における g(t) 3 (t+2)?+2 のグ
ラフは、右の図の実線部分のようになるので,
9()はt=5 のとき最大値 51をとる。
t=5 のとき,右上の図より x=1 である。
したがって,f(x) の最大値は 51 で,そのときの
xの値は1である。
51
11
-201
Point

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

くまお

tの範囲を求めたい→グラフがわかれば範囲が簡単に分かりそう→グラフを書くために平方完成しよう！
という思考回路になりますかね。

εïз

置き換えした文字を平方完成するのに抵抗があったので、その抵抗が無くなった気がします！ありがとうございます😊