Question

おと

場合の数

(2)
(ア)と(イ)に分けているのは何故でしょうか、。。
(イ)だけでいいと思ってしまいしまた。。

どなたか教えて下さると幸いです🙇‍♀️

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「例題]18 . 5人の客がホテルのフロントにそれぞれコートをあずけ,
りに、 2人だけがそれぞれ自分のコートを受け取り残り3人がそれぞ
れ自分のコートと異なるコートを渡される場合の数は (1)]で, すべ
その5人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡される場合の数は
(東北学院大)
(2]である。
こだし A
学生時代, 私が受験雑誌「大学への数学」 のアルバイトに来て, 帰ろうと
したとき, 靴がない. 似た靴はあるのですが, はいてみると, なんか違う.
当時は,人の靴も自分の靴もかまわない豪傑がいました。
ホテルのフロントがコートを無茶苦茶に返したらパニックですね. 「俺の
コートは高いぞ、 どうしてくれる !」「僕の外套に該当する物がないとう?」
客の性格がわかるに違いない。 私ならちゃぶ台をひっくり返すかな?
フロントがコートを返すのではなく「客が1回だけ, 自分のコートを誰か
に渡し,誰かのコートをもらう. ただし自分のものを持ったままの人がいて
もよく, どの人もコートは1つだけ所持する」コート交換会をすると考える
ほうが自然ですね. モンモールの問題という有名問題です. 提乱(かくらん)
順列とよぶ数学者もいます. p.256 に一般論がありますので, 今はその話は
せず具体的に考えていきます。
解 5人を A, B, C, D, E とします。
AAiから
を選んで
うは全部
通り)
左右に
-2個
(1)3人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡される場合: 2人は
自分のコートをもらうから, どの2人が自分のコートをもらうかで 5C2=10
通りあります。たとえばそれが A, Bのとき, C, D, E は自分のコートを
受け取らないようにバラバラに渡されます. この場合,次の図1,図2のよ
うな2通りの渡し方があります.図2はC, D, Eの渡し方のみ示しました。
ニ全部
固数
[図 2]
[図 1]
CDE
誰のコートをAB CDE
「C D E
上の図1でC→Dは「CのコートをDに渡す」 ことを表します.よって全
部で 10-2 =20 通りある。
誰に渡すか A B C D E

5人に誰かのコートを1つずつ渡すという本間の渡し方の場合。
トをC に渡す」のですが, 「」で 「のコートを」 を→に換え 1に渡し」を
5 つのものの置換といいます, これは文字の並べ替えをしていると考えるこ
削除すると「C-→D, D→E, E→C」 になり, 続けて書けば「C→D→E→C
先生:C→D→E→… とたどっていくとき, 文字の個数は有限なので(今は レープを作る
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用語解説
とができます。 Aが自分のコートをもらうとき A は不動点である上、
の巡回置換という見方もできます。
C D
[図5] 互換
E
2つ以上もらう人
がいるのは置換
とは言わない
[図 3]
C DE
A B
0-0HC OC
りまですた。
チべて自分のコー
がクカープに分け、, 各
1人が確立する
は合かのコートをも
[図 4
これは置換
A
C DE
C DE
A B
巡回置換についてもう少し説明します. 「客が1回だけ,自分のコートを
誰かに渡し,誰かのコートをもらう. ただし自分のものを持ったままの人が
いてもよいが, その場合は誰からもコートをもらってはいけない、 どの人も
コートは1つだけ所持する」 コート交換会をすると考えます. 想像しましょ
う.あなたは Cさんです. 「CはDに渡します.では Dさん, あなたは誰
に渡しますか?Eさんですか, では E さんは誰に渡しますか? ……」 とたループの際入
どっていくと,いつかCに戻ってきます。
生徒:なぜですか? Cに戻ってこなくてもいいと思うんですが、
すしかなく、に
1いに交換し
5つ)いつまでも違う文字が現れることはできないから, →○の○(コートを
もらう人)には以前出た文字が現れるか.または Cが現れる.また, 1つし
かコートをもらうことができないので, →○の○には同じ文字が2度現れる
ことはできない。 2度現れると「安田,お前2つもとって,ずるいX」と
なるからです。よっていつかはCが現れるのです.
生徒:巡回置換というのは, いくつかの文字を巡回して元に帰ってくるとい
うことですか、パバーを飲み歩いて, 最初の店に戻る先生のようですね。
のとさも、 トコー
べだあべって
..0.E
ぱ C--
はまとわりで 3人で作ると、

一般に
n個の置換では不動点と, 互換と, 巡回置換からできている
ことに着目しましょう。
(2) 5人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡される場合の数:
[図 1]
図6
C
J北 「図 2]
ABCD
E
C
DE
D
*E
D
E
ABC D E
C DE
図1の場合
図2の場合
図1では C→D→E→C という巡回置換があり, これを上の図6のように
円にしてみると, Cから始める必要はなく, D→E→C→D と書いてもよい
とわかります. 図2 では C→E→D→C という巡回置換になっています. こ
の2つは逆まわりで, 3人で作るループのまわり方は2通りあります。
C→D→E→C, C→E→D→C
ですが,これは C→O→○→Cの○に DとEを入れていると考えれば, 2
通りになるのは当たり前ですね.時
さて,5人がすべて自分のコートと異なるコートを渡される場合,5人を
いくつかのグループに分け, 各グループの中ではループを作ることを考えま
す。この場合,1人が孤立するとその人は不動点ということになりますので
「どの人も自分のコートをもらわない」 という条件に合わず, 不適です。し
たがって各グループの構成人数は2以上です. すると, 2と3に分けるか,
5のままにするしかなく, 次の2つのタイプがあります。
(ア)2人は互いに交換し, 残りの3人はループを作る。
(イ) 5人でループを作る。
(ア)のときは(1 )で求めた場合で 20 通りあります。
(イ)のとき,A→O→○→○→○→A と, Aからはじまって B, C, D,
Eのすべてをめくぐって Aにもどるループを作ることになりますが, これは4
つの○に B, C, D, E を入れると考えればよく, 4·3-2-1= 24 通りありま
す。
(ア)と(イ)あわせて全部で 20+24 =44 通りあります。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

(イ)だけでは(ア)のパターンが漏れてしまいます。
A→O→O→O→O→Aで中央4つのOにB,C,D,Eが入るのですがOは重複してはいけません。
A→B→C→E→B→Aのようなパターンはいけないということですね。
これより
A→B→A,C→O→O→Dも(2)の題意を満たしていますが(イ)ではこのパターンを考えられていないので場合分けをしてあげる必要があります。

おと

なるほど！ありがとうございます