数学
高校生

場合の数

(2)
(ア)と(イ)に分けているのは何故でしょうか、。。
(イ)だけでいいと思ってしまいしまた。。

どなたか教えて下さると幸いです🙇‍♀️

73 「例題]18 . 5人の客がホテルのフロントにそれぞれコートをあずけ, りに、 2人だけがそれぞれ自分のコートを受け取り残り3人がそれぞ れ自分のコートと異なるコートを渡される場合の数は (1)]で, すべ その5人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡される場合の数は (東北学院大) (2]である。 こだし A 学生時代, 私が受験雑誌「大学への数学」 のアルバイトに来て, 帰ろうと したとき, 靴がない. 似た靴はあるのですが, はいてみると, なんか違う. 当時は,人の靴も自分の靴もかまわない豪傑がいました。 ホテルのフロントがコートを無茶苦茶に返したらパニックですね. 「俺の コートは高いぞ、 どうしてくれる !」「僕の外套に該当する物がないとう?」 客の性格がわかるに違いない。 私ならちゃぶ台をひっくり返すかな? フロントがコートを返すのではなく「客が1回だけ, 自分のコートを誰か に渡し,誰かのコートをもらう. ただし自分のものを持ったままの人がいて もよく, どの人もコートは1つだけ所持する」コート交換会をすると考える ほうが自然ですね. モンモールの問題という有名問題です. 提乱(かくらん) 順列とよぶ数学者もいます. p.256 に一般論がありますので, 今はその話は せず具体的に考えていきます。 解 5人を A, B, C, D, E とします。 AAiから を選んで うは全部 通り) 左右に -2個 (1)3人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡される場合: 2人は 自分のコートをもらうから, どの2人が自分のコートをもらうかで 5C2=10 通りあります。たとえばそれが A, Bのとき, C, D, E は自分のコートを 受け取らないようにバラバラに渡されます. この場合,次の図1,図2のよ うな2通りの渡し方があります.図2はC, D, Eの渡し方のみ示しました。 ニ全部 固数 [図 2] [図 1] CDE 誰のコートをAB CDE 「C D E 上の図1でC→Dは「CのコートをDに渡す」 ことを表します.よって全 部で 10-2 =20 通りある。 誰に渡すか A B C D E
5人に誰かのコートを1つずつ渡すという本間の渡し方の場合。 トをC に渡す」のですが, 「」で 「のコートを」 を→に換え 1に渡し」を 5 つのものの置換といいます, これは文字の並べ替えをしていると考えるこ 削除すると「C-→D, D→E, E→C」 になり, 続けて書けば「C→D→E→C 先生:C→D→E→… とたどっていくとき, 文字の個数は有限なので(今は レープを作る 74 用語解説 とができます。 Aが自分のコートをもらうとき A は不動点である上、 の巡回置換という見方もできます。 C D [図5] 互換 E 2つ以上もらう人 がいるのは置換 とは言わない [図 3] C DE A B 0-0HC OC りまですた。 チべて自分のコー がクカープに分け、, 各 1人が確立する は合かのコートをも [図 4 これは置換 A C DE C DE A B 巡回置換についてもう少し説明します. 「客が1回だけ,自分のコートを 誰かに渡し,誰かのコートをもらう. ただし自分のものを持ったままの人が いてもよいが, その場合は誰からもコートをもらってはいけない、 どの人も コートは1つだけ所持する」 コート交換会をすると考えます. 想像しましょ う.あなたは Cさんです. 「CはDに渡します.では Dさん, あなたは誰 に渡しますか?Eさんですか, では E さんは誰に渡しますか? ……」 とたループの際入 どっていくと,いつかCに戻ってきます。 生徒:なぜですか? Cに戻ってこなくてもいいと思うんですが、 すしかなく、に 1いに交換し 5つ)いつまでも違う文字が現れることはできないから, →○の○(コートを もらう人)には以前出た文字が現れるか.または Cが現れる.また, 1つし かコートをもらうことができないので, →○の○には同じ文字が2度現れる ことはできない。 2度現れると「安田,お前2つもとって,ずるいX」と なるからです。よっていつかはCが現れるのです. 生徒:巡回置換というのは, いくつかの文字を巡回して元に帰ってくるとい うことですか、パバーを飲み歩いて, 最初の店に戻る先生のようですね。 のとさも、 トコー べだあべって ..0.E ぱ C-- はまとわりで 3人で作ると、
一般に n個の置換では不動点と, 互換と, 巡回置換からできている ことに着目しましょう。 (2) 5人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡される場合の数: [図 1] 図6 C J北 「図 2] ABCD E C DE D *E D E ABC D E C DE 図1の場合 図2の場合 図1では C→D→E→C という巡回置換があり, これを上の図6のように 円にしてみると, Cから始める必要はなく, D→E→C→D と書いてもよい とわかります. 図2 では C→E→D→C という巡回置換になっています. こ の2つは逆まわりで, 3人で作るループのまわり方は2通りあります。 C→D→E→C, C→E→D→C ですが,これは C→O→○→Cの○に DとEを入れていると考えれば, 2 通りになるのは当たり前ですね.時 さて,5人がすべて自分のコートと異なるコートを渡される場合,5人を いくつかのグループに分け, 各グループの中ではループを作ることを考えま す。この場合,1人が孤立するとその人は不動点ということになりますので 「どの人も自分のコートをもらわない」 という条件に合わず, 不適です。し たがって各グループの構成人数は2以上です. すると, 2と3に分けるか, 5のままにするしかなく, 次の2つのタイプがあります。 (ア)2人は互いに交換し, 残りの3人はループを作る。 (イ) 5人でループを作る。 (ア)のときは(1 )で求めた場合で 20 通りあります。 (イ)のとき,A→O→○→○→○→A と, Aからはじまって B, C, D, Eのすべてをめくぐって Aにもどるループを作ることになりますが, これは4 つの○に B, C, D, E を入れると考えればよく, 4·3-2-1= 24 通りありま す。 (ア)と(イ)あわせて全部で 20+24 =44 通りあります。

回答

✨ ベストアンサー ✨

(イ)だけでは(ア)のパターンが漏れてしまいます。
A→O→O→O→O→Aで中央4つのOにB,C,D,Eが入るのですがOは重複してはいけません。
A→B→C→E→B→Aのようなパターンはいけないということですね。
これより
A→B→A,C→O→O→Dも(2)の題意を満たしていますが(イ)ではこのパターンを考えられていないので場合分けをしてあげる必要があります。

おと

なるほど!ありがとうございます

この回答にコメントする
PromotionBanner
疑問は解決しましたか?