Question

kk

「存在するための条件」ってどういう意味なのでしょうか？
あまりピンと来ないです

34 xy 座標平面上に4点 A」(0, 5), Az(0, -5), B,(c, 0), Ba(-c, 0) をとる。 ただ
し、c>0 とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 2点A」, A2 からの距離の差が6であるような点P(x, y)の軌跡を求め, その
軌跡をxy座標平面上に図示せよ。
(2) 2点B1, B2 からの距離の差が 2a であるような点が,(1)で求めた軌跡上に存
在するための必要十分条件をaとcの関係式で表し, それを ac座標平面上に図
示せよ。ただし, c>a>0とする。
2章
【大阪教育大)
→52
6放物線、楕円

(kは定数)のと
数学I- 91
焦点のx座標について
カ=aを代入すると
両辺を平方すると
P+q° =c るケ[1(
Va'+q° =c
P(x,y), Al。
ーt) とする。
3の面積に注
の関係式を作
-2 1s1.
2 \t\,
=90° に注目
(01-
g°=c°-a
2章
2である。←c>a>0であるから
c-a>0
x2
ゆえに, Qの軌跡は, 双曲線ー ュー
c-a
a?
EX
Qが①上に存在するための条件は, ① と ②が共有点をもつ
ことである。
0, 2 からyを消去して整理すると
0 (0 (16c°-25a°)x?=16a°(c°-a'+9)
c>a>0であるから
よって,③が実数解をもつための条件は
0
るあケ!
-OA·OB-
2
3 (0
そ0を変形した
9
x+9を②に
16
=3x
16c2-25a>0
=3y
-2から
代入して整理する。
そsx°=t(t>0) が実数
キ』
ゆえに
(4c+5a)(4c-5a)>0
解をもつための条件は
4c+5a>0 であるから
5
c>
49
s>0
『+y)
C.
0=E
-4から
よって, 求める条件は
5
nc>aかつc>a>0
5
4°
040
5)
すなわち c>-aかつ a>0
5
a
そc>-aかつa>0のと
4
し, c>0と
き,c>aは常に成り立つ。
この不等式の表す領域は, 右図の斜線
部分。ただし,境界線を含まない。
動跡を対
一<B
るす3 (>)
するため
EX
y
-=1 で表される2次曲線について
1-t
x°
c>a
35
tキ1, tキ2 とする。方程式
2-t
ーー!
行教敵

必要十分条件をaとcの関係式で表し、 それを ac座標平面上に図示せよ。 ただし、
2) 2点B。 B, からの距離の差が 2aであるような点が、 (1) で求めた軌跡上に存在すご
のをのに代入して
双曲線xーy=土
ゆえに、求める軌跡は
よ
EX
34
る。このとき、次の問いに答えよ。
標平面上に関示せよ。
とする。
ENT 焦点がx軸上にあるかy軸上にあるかに注意して, 軌跡の方程式を求めス
(1) 点Pの軌跡は、 A, A。 を焦点とする双曲線であるから
エーニー
そ中心が原点
上に焦点がある
とおける。
ニーー-1(m>0, n>0)
7m
ゆえに n=3
焦点からの距離の差が6であるから 2n=6
焦点のy座標について Vm'+n°=5
n=3を代入すると Vm'+3" =5
両辺を平方すると
よって、求める軌跡は、
3
m=16
X
そ漸近線は
_ジ
の
2直線 y=ニー
16
9
で、その概形は右図のようになる。
(2) 2点B., Ba からの距離の差が 2aである点をQ(x, y) とす
ると,Qの軌跡は, B,, Bzを焦点とする双曲線であるから
x_y?
=1 (カ>0, q>0)
が g
とおける。
そ中心が原点
上に焦点がき
焦点からの距離の差が2aであるから
2カ=2a
ゆえに
p=a

二次曲線