数学
高校生

「存在するための条件」ってどういう意味なのでしょうか?
あまりピンと来ないです

34 xy 座標平面上に4点 A」(0, 5), Az(0, -5), B,(c, 0), Ba(-c, 0) をとる。 ただ し、c>0 とする。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) 2点A」, A2 からの距離の差が6であるような点P(x, y)の軌跡を求め, その 軌跡をxy座標平面上に図示せよ。 (2) 2点B1, B2 からの距離の差が 2a であるような点が,(1)で求めた軌跡上に存 在するための必要十分条件をaとcの関係式で表し, それを ac座標平面上に図 示せよ。ただし, c>a>0とする。 2章 【大阪教育大) →52 6放物線、楕円
(kは定数)のと 数学I- 91 焦点のx座標について カ=aを代入すると 両辺を平方すると P+q° =c るケ[1( Va'+q° =c P(x,y), Al。 ーt) とする。 3の面積に注 の関係式を作 -2 1s1. 2 \t\, =90° に注目 (01- g°=c°-a 2章 2である。←c>a>0であるから c-a>0 x2 ゆえに, Qの軌跡は, 双曲線ー ュー c-a a? EX Qが①上に存在するための条件は, ① と ②が共有点をもつ ことである。 0, 2 からyを消去して整理すると 0 (0 (16c°-25a°)x?=16a°(c°-a'+9) c>a>0であるから よって,③が実数解をもつための条件は 0 るあケ! -OA·OB- 2 3 (0 そ0を変形した 9 x+9を②に 16 =3x 16c2-25a>0 =3y -2から 代入して整理する。 そsx°=t(t>0) が実数 キ』 ゆえに (4c+5a)(4c-5a)>0 解をもつための条件は 4c+5a>0 であるから 5 c> 49 s>0 『+y) C. 0=E -4から よって, 求める条件は 5 nc>aかつc>a>0 5 4° 040 5) すなわち c>-aかつ a>0 5 a そc>-aかつa>0のと 4 し, c>0と き,c>aは常に成り立つ。 この不等式の表す領域は, 右図の斜線 部分。ただし,境界線を含まない。 動跡を対 一<B るす3 (>) するため EX y -=1 で表される2次曲線について 1-t x° c>a 35 tキ1, tキ2 とする。方程式 2-t ーー! 行教敵
必要十分条件をaとcの関係式で表し、 それを ac座標平面上に図示せよ。 ただし、 2) 2点B。 B, からの距離の差が 2aであるような点が、 (1) で求めた軌跡上に存在すご のをのに代入して 双曲線xーy=土 ゆえに、求める軌跡は よ EX 34 る。このとき、次の問いに答えよ。 標平面上に関示せよ。 とする。 ENT 焦点がx軸上にあるかy軸上にあるかに注意して, 軌跡の方程式を求めス (1) 点Pの軌跡は、 A, A。 を焦点とする双曲線であるから エーニー そ中心が原点 上に焦点がある とおける。 ニーー-1(m>0, n>0) 7m ゆえに n=3 焦点からの距離の差が6であるから 2n=6 焦点のy座標について Vm'+n°=5 n=3を代入すると Vm'+3" =5 両辺を平方すると よって、求める軌跡は、 3 m=16 X そ漸近線は _ジ の 2直線 y=ニー 16 9 で、その概形は右図のようになる。 (2) 2点B., Ba からの距離の差が 2aである点をQ(x, y) とす ると,Qの軌跡は, B,, Bzを焦点とする双曲線であるから x_y? =1 (カ>0, q>0) が g とおける。 そ中心が原点 上に焦点がき 焦点からの距離の差が2aであるから 2カ=2a ゆえに p=a
二次曲線
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