n=3k+1, 3k+2の場合に分けて, 条件を満たさない, すなわちn+2, n+4のどちらかが
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nは自然数とする。n, n+2, n+4がすべて素数であるのはn:
あることを示せ。
重要 例題120 素数の問題(余りによる整数の分類の利用)
(早稲田大,東京女子大]
8
基本 117
n
指針> nが素数でない場合は条件を満たさない。
2が素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ
ると右の表のようになり, n, n+2, n+4の中には必ず
3の倍数が含まれるらしい, ということがわかる。
よって, n=2, 3のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ, nが5以上の素数のときは,
2)
3:5
n
11 13
n+2
4
5
9
13 15
11 15 17
n+4
6
(7):9
:素数,
:3の倍数
TAHO
素数にならないことを示す,という方針で進める。
CHART 整数の問題 いくつかの値で 小手調べ(実験)→ 規則性の発目
解答
|3数のうち, nが素数でな
い。のたい味み
n+4(=6) も素数でない。
nが素数でない場合は, 明らかに条件を満たさない。
nが素数の場合について
[1] n=2のとき, n+2=4となり,条件を満たさない。
[2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7で, 条件を満たす。ケ
[3] nが5以上の素数のとき, nは3k+1, 3k+2 (kは自然
数)のいずれかで表され
(i) n=3k+1のとき
を+1 は2以上の自然数であるから, n+2は素数にならず, 4の断りは重要。k+1=1
条件を満たさない。
(i) n=3k+2のとき
k+2 は3以上の自然数であるから, n+4は素数にならず,
条件を満たさない。
以上から,条件を満たすのはn=3の場合だけである。
す人外多
An=3k(n25) は素数にな
らないから,この場合は考
えない。
n+2=3k+3=3(k+1)8
とすると, n+2=3(素数)
となるため,このように書
いている[(i)でも同様]。
よケ 0お余づ
n+4=3k+6=3(k+2)
あケ焼
で平よ
最後の文は｢k+1=1になることはありません｣の誤りです