Question

ぎん

なんで場合分けの時は共通範囲で、さいごは合わせた範囲なんですか？
どっちかを見分ける方法はありますか？

142
基
基本例題90 ある変域で不等式が常に成り立つ条件
リミxミ2 の範囲において、常にxー2ax+3a>0 が成り立つように, 定粉
aの値の範囲を定めよ。
次
基本62
(1
CHART
る が料来
lOLUTION
ある変域で2次不等式が常に成り立つ条件
2次関数のグラフから読み取る
ある変域で f(x)>0 → (変域内の最小値) >0
変域に制限があるから, x° の係数>0 かつ D<0 だけで済ませてはダメ。
問題をグラフにおき換えると, 求める条件は「y=x-2ax+3a のグラフが
0SxS2 の範囲でx軸の上側にあること」である。
これを(変域内の最小値)>0 と考えてみる。
この最小値の求め方は, 基本例題 62 (p.104) を参照。
ソ=x?-2ax+3a のグラフは下に凸であるから, 軸が変域の左外,内,右外で場
合分け。
T先眠 0
CH
(0く)
解答
解名
f(x)=x°-2ax+3a とする。
求める条件

ソ=x?-2ax+3a のグブノd
合分け。
解答
解答
f(x)=x°-2ax+3a とする。
求める条件は,0<x<2 の範囲における関数 y=f(x) の最小
値が正であることである。
プ(x)=(x-a)?-α'+3a であるから、ソ=f(x) のグラフはト
に凸の放物線で,その軸は直線 x=a である。
[1] a<0 のとき
f(x)は x=0 で最小となる。
3x°+x-
よって
不は
たない。
のと②
よって
f(0)=3a>0
[2] 0Sa£2 のとき
f(x) は x=a で最小となる。
これは, a<0 を満たさない。
0 2x
(2) x2-
よって
よって
f(a)=-a'+3a>0
これを解くと,ala-3)<0 から
これと 0Sas2 の共通範囲は
すなわち
a-3a<0
0<a<3
.2
ーx
0<a<2
I
[3] 2<a のとき
f(x)は x=2 で最小となる。
0a2
x
ゆえ
よって
f(2)=4-a>0
これと 2<a の共通範囲は
よ
ゆえに
a<4 0
の
F ち
a
0 2
2<a<4.
の
求めるaの値の範囲は, ① と②
0
を合わせて
0<a<4
2
a
PRACTICE… 90® f(x)=x°-2ax-at6 につ
F

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

でど

本当はこの問題は丸々範囲を求めたいのだけれど、それでは求めるのが難しいから場合分けをしています。
つまり、この全部の範囲を合わせた範囲が答えになることが分かりますね。
また、共通範囲は自分の分けた場合分けに則していないと答えが変わってしまうので場合分けとの共通範囲になります