Question

no name

数学整数について質問です。
サの部分ですが、ｎ^4を5で割ったあまりが0の時は、
MとMｎ^4の余りが等しくならないと考え、1を選びました。なぜ間違っているのでしょうか、、、。

ツの部分ですが、解説の｢0から4の5つ全てを揃えていればよい｣の意味が分かりません。教えてくださいませんか？

ロV円
い*9イし"2向を選択し, 解答しなさい。
V
第4問(選択問題)
(配点 20)
このことから,Mを5で割り切れない自然数の定数,nを5で割り切れない自然
大
数とするとき
nを自然数とする。
h=7 (mass)
nを5で割った余りが1であるとき
MとMn? を5で割った余りは
六
n?を5で割った余りは
付へ。
Mと Mn' を5で割った余りは
n'を5で割った余りは 」
G日A
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
コ
サ
である。
nを5で割った余りが3であるとき
ン3
O nの値に関わらず等しい
n°を5で割った余りは「乳h 7
0 nの値によって等しいときも等しくないこともある
2 nの値に関わらず等しくない
n'を5で割った余りは
エ
宝質
ミナ
である。
D-AP
さらに,自然数nに対し, n°を5で割った余りは
外またはh
nがどんな自然数であってもnとn"を5で割った余りが等しいような2以上の自
または
然数kを小さいものから順に四つあげるとし
キであり,nを5で割った余りは
クのまたは」ヶである。ただし,
VD:BD=DBD
「ス]+| ス,セジ+|セソ,
カ
< キ
ク
く
ケ
とする。
であり,五つの数 n+1, n
|シ
+シ], カ
(数学I·数学A第4問は次ページに続く。)
タチ
n
「+p の積
(n+)(, [])( の)
n=0t1.ま2
ト-0r 1, 4
パ子
がすべての自然数nに対して,5 で割り切れるような自然数かのうち, 30以下であ
M= or E7.22
1.4
3
るものは
ッ|個ある。
こ除く
,6.7, 4,3
n
0r

10
n'=5(5C°+8c+3)+1 (5°+4l=Cとした),
第4回 11
n=5+4 のとき, n?=5(5e"+84+3)+1,
|9
n'=5(5D°+2D) +1 (5€"+84+3=D とした)
であるから,上のことと合わせると、自然数nに対して, n°を5で割った余り
13
である。
例えば、
*nを5で割った余りが2のとき、
五つの数 n+1, nパ+5, n°+9, n"+13, n"+pの積
は
0
または
1|または
4であり,n'を5で割った余りは
n, n', n, n",n"を5で割った
余りはすべて2であるから、
n+1, n'+5, n'+9, n"+13 の
または
が5で割り切れるのは,五つの数 n+1, パ+5, n°+9, n"+13, n"+p の
うち,いずれかが5で割り切れるときである。
nがどんな自然数であってもn, n', n", n", n" を5で割った余りは等しい
から,1, 5,9, 13, pを5で割った余りが0から4の五つのすべてをそろえて
いればよい、1, 5, 9, 13を5で割った余りは,それぞれA,0, 4、3であるか
ら,pを5で割った余りが2ずあればよく, 30以下の自然数では、27, 12,
0
1
である。
以上のことから, nを5で割り切れない自然数とするとき,
うちで,n"+ 13 だけが5の倍数
となる。
*nを5で割った余りが3のとき、
n,n,n, n",n”を5で割った
余りはすべて3であるから、
n+1, n'+5, n'+9, n"+13 は
いずれも5で割り切れない。よっ
n=5K+1, 5K+4(K は0以上の整数),
n'=5L+1(Lは0以上の整数)
と表せる。
Mと Mn°を5で割った余りが等しいかどうかは,Mn°-M が5の倍数か
どうかを調べればよい。
n°=5K+1 のとき, Mn'-M==(n°-1)M=5KM(5の倍数)であること
により,MとMn? を5で割った余りは等しい.
17, 22, .27 の 6|個ある。
D ロ
て,n"+pが5で割り切れない
そ 2つの整数a, bについて, 2以上の
といけない。
整数pに対して
「aーb がpの倍数」
→「aとbをpで割った余りは
同様に,n=5K +4 のとき,Mn?- M=(n°-1)M=(5K+3)M (5 の倍
数でない)であることにより,Mと Mn° を5で割った余りは等しくない。
よって, MとMn° を5で割った余りは,nの値によって等しいときも等し
TOS
第5問 図形の性質 (配点 20)
A、
A
等しい」。
(説明) の 側
*aとりをpで割った余りが等しいと
D
くないこともあるから,
コに当てはまるものは| 0」である。
DAC
n'=5L+1 のとき, Mn'- M=(n'-1)M=5LM (5 の倍数)であることに
き,その余りをrとすると
より,Mと Mn'を5で割った余りは等しいから,
サ
に当てはまるものは
a= pk+r, b=pl+r
B
(k,eは整数)
O
である。
上図の四角形 ABCD において, 不等式
と表せるから
AB-CD+AD-BCz AC·BD
n=5l+2(lは整数)のとき, n=5(252°+ 302°+ 120+1)+3 より,
n=5E+3(252+ 300°+12l+1=E とした)と表せるから, Mを5で割り
切れない自然数とすると
a-b=p(k-)(pの倍数)。
が成り立つことは, 以下のようにして示すことができる。
A
*aとbをpで割った余りが等しくな
いとき
円 A
Mn°-M=(n°-1)M=(5E+2)M (5 の倍数でない)
a= pk+R, b= pl+r
(k, lは整数。
であるから,Mと Mn° を5で割った余りは等しくない。
よって,Mを5 で割り切れない自然数の定数, nを5で割り切れない自然数
とするとき, Mと Mn° を5で割った余りは,「nの値に関わらず等しい」とは
R=0, 1, 2, …, p-1,
ア=0, 1, 2, …, p-1, Rキr)
と表せるから
B
上図のように,四角形 ABCD の内部に, ADAPのADBCとなる点Pを
言えない。
aーb=p(k-l)+(R-r)
とると
…D
であり,R-r は, -p+1 以上
p-1以下の0でない整数であるか
ら,a-b はpの倍数でない。
このことと
により,nが5で割り切れない自然数であれば
AD:PD=BD:CD
コ
サ
また,ADAB と ADPC において
ZADB= ZADP-ZBDP,
どんな値であっても
ZPDC= ZBDC-ZBDP
nとnn'(=n°)を5で割った余りは等しい,
)1
であるから
n°とnn*(=n") を5で割った余りは等しい,
n°とn*(=n") を5で割った余りは等しい。
n"とn.n*(=n'") を5で割った余りは等しい
nが5で割り切れない自然数である
から,n'を5で割制った余りは1であっ
ZADB= ZPDC
A
となり,これとDより, 2組の辺の比とその間の角が等しいことから
ADABのADPC
た。
ここで,ADAPSADBCより, AD:BD= AP:BC であるから
AD·BC=BD·AP.
から, n, n', n°, n'", n'7を5で割った余りは等しい。
nが5の倍数のとき, n, n°, n", n"", n'" はすべて5の倍数である。
よって, nがどんな自然数であってもnとn*を5で割った余りが等しいよ
うな2以上の自然数々を小さいものから順に4つあげると
…の
また,ADABの△DPCより, AB:PC=BD:CD であるから
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