Question

らんたん

この問題全然わかんないので、解答解説お願いします！

【問題 2) Ss を3文字 1,2,3 の置換全体の成す群とする。o=
(123), T= (12) とすると
き、次の問いに答えよ。
(1) ァで生成される S3 の部分群 H,= (r) を求めよ。
(2) oで生成される S; の部分群 H2 = (a) を求め、oの位数を答えよ。
(3) (余力ある人) S3 は2元集合 {o, r} で生成されることを示せ。
2 3
※答えだけでなく、理由も述べること。尚、(123)は巡回置換
を表す。
2 3 1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

恒等置換をeとおく。
(1)τ＝(12)よりτ^2＝e
　τ^3＝τ,τ^4＝e...とループしていくので
H1＝{e,(12)}
(2)(1)と同様にして考える。
　　σ＝(123)よりσ^2＝(132),σ^3＝eだから
　　H2＝{e,(123),(132)]
　　また,H2の元の個数が位数だから位数3の巡回群である。
(3)S3の元は以下6つ
　　e,(12),(13),(23),(123),(132)
σ＝(123),τ＝(12)とおくと
　e＝σ^3(またはτ^2)
(13)＝στ
　(23)＝σ^2τ
　(132)＝σ^2より
　S3＝{σ,σ^2,σ^3,τ,στ,σ^2τ}で書き並べることができるからS3＝〈σ,τ〉が示された。

ぽっきー

訂正　(2)答えは位数3で間違いないのですがσの位数と書いてあるので理由が次のようになります。
　　　　　σ^3＝eでσ^n＝eを満たす自然数nのうち最小であるから位数は3となる。

らんたん

丁寧にありがとうございます！すごく助かりました！！