Question

山本

YouTube パスラボの整数完全攻略[34]の問題です。青字で書いた「大小関係よりtanB=2,tanC=3がなぜ成り立つのかが分かりません。どなたか教えていただきたいです。

[34] 三角形 ABC の3つの内角をそれぞれ A,B,C で表す。
tanA, tanB, tanC がすべて整数のとき, tanA, tanB, tanC の値を求めよ。
(一橋大)
°くA<8EC としても一般性映われな、。
ネ初手が思い時かするいとき
う創動で角度の大小 定す
AtB+C= 180°
18 - A+B+Cz A+A+A-3A
0く 3A€180
°くAsbo
0くtan A<3
ton A- 1
A=45°
tonA- tan (io-8-C)
- tm(8tC)
tan Bt tonC
1-tomBtonC
ニー
こ -
ニ
tanB tonC - 1- TanB+1anC
onBtan C - tan B - tomC -1-0
(tom8
-) (tomC-1) - 2
外関像 tomB-2, tonCo3
ま(tomA, tnB, omc)、 1(1,2,3)(1,3,2)
33

Answer 1

まる

解答の最初に、A,B,Cを入れ替えても式は変わらないため、1回0°<A≦B≦Cと置いているからというのが理由です。

ですが、今言ったことだけだと、(tanA,tanB)=(0,-1)にもなるのではないかと考えられるのですが、A,B,Cは0°や180°では無い(1つでも0°や180°があったら三角形にならないから)ので、tanの値が0をとることは有り得ないからこの可能性は消えます。

Answer 2

えだまめ🫛

(整数) × (整数) = 2 となるのは
1×2か2×1しかないことを使います

(tanB-1)(tanC-1) = 2

大小関係より　tanB-1 < tanC-1
tanB-1 も tanC-1 も整数なので

tanB-1 = 1
tanC-1 = 2 と分かります

よって　tanB = 2 , tanC = 3 です