Question

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数学の質問です。
困っています。助けてください。

数3 基礎問題精講 42番、数列の極限（無限等比数列）の問題です。

何回も理解しようと、解説を読みましたが、理解できない点があります。

（1）（2）において収束することは、わかりますしたが、
ここで、（3）と（4）において、
添付している画像の2枚目の注の部分の文章に、逆数を作れば0＜1／r＜1となり、収束させることができるとありますが、

すべて逆数を取れば収束するのでしょうか？
この問題に限らず、無限等比級数の問題には、発散するものはありますか？

質問の意図がわかりにくくて、すみません。
ご教授ください。

42 数列の極限(IⅡ)
n+1
1+rn
第n項が
合について調べよ。
(4) rく-1
(3) r>1
(2) -1<r<1
(1) r=1
2→ 00
精講
うになります。
極限値0(-1<r<1)]
収束
極限値1(r=1)
limr"=
+0
n→ 0
発散
振動する(rミー1)
この基礎問は誘導がついていますが,このことを頭に入れておけば,自力で
場合分けをすることができます。
しかし,この問題は式が分数の形をしていますから,limr”, limr"+1
を求
n→0
n→0
めたとしても不定形になる可能性があります。
解答
アれ+1
(rキー1)とおく.
1+r
(1) ア=1のとき、dn=;
2
lim an
(収束)
2
三
れ→ 0
(2) -1<r<1 のとき, limr"=lim r*+1=0 だから,
n→ 0
n→ 0
lim an=0 (収束)
n→ 0
0
(3) r>1 のとき,an=-
0以外の定数
は0
r
れ
(分子,分母をr"でわっ

ァ>1 のとき, limr" は発散しますが, 逆数をっくれば 0<1。
lim an=r (収束)
n→ 0
1のとき,limr" は発散しますが,逆数をつくれば 0<l。
n→ o
1
=0 と収束させることができます。次の(4)も同じ要
となり, lim
r
n→ 0
領です。
r
く-1 のとき, an=
n
+1
r
1<よ<0 だから, lim(-)
n
=0
r
r
n→0
lim an=r(収束)
n→ 0
こ

基礎問題精講

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

なぜ、収束するかを考えればそんなにややこしく考える必要はないのでは？
r>1であれば、rⁿは発散しますね。これは、1より大きい数字をかけていったらいくらでも大きくなり得るからですね

それが1よりも小さい数字ならどーなるか。
同じく何回もかけていったら、どんどん0に近づきますよね

つまり、r>1の条件下において、rⁿは発散するが、1/rⁿさえ作れれば0に収束させることができるわけです

発散する可能性はいくらでもありますよ