Question

ひろあか

高一の互いに素の証明です。
答えを見てもよく分からなかったので解説お願い致します🙇‍♀️

2=g(n-m)の辺りから分かりません！

補足 背理法(数学Iで学習)を用いて証明することもできる。
258 aを自然数とする。 2a-1と 2a+1が互いに素であることを証明せよ。
257 >(2) 求める分数を一(a, bは互いに素である自然数)とすると

と,aは5と10と16の最小公倍数,bは 42と
21 と 35 の最大公約数]
258. [2a-1と2a+1の最大公約数をgとする
=u
2
=,u
n=
と 2a-1=gm, 2a+1=gn と表される。
ただし, m, n は互いに素である自然数で, m<n
である。
このとき 2=g(n-m)
ゆえに,gは2の正の約数であり, また, gは奇数
2a-1, 2a+1の約数であるから g=1]
26
ニ
ニ
AF

互いに素 証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マック堺

2=g(n-m) を展開してみましょう。すると
2=gn-gm となります。
これは　2a+1-(2a-1) と言うことを示しています。

なぜ因数分解するかと言うと
積の形にして2の約数に絞るためにしています。
するとgとn-mが2の約数ということがわかります。
そしてgは2a+1と2a-1の約数です。
2a+1と2a-1は2の倍数に1 -1をした物なので奇数とわかります。
gが1であり2ではない理由は2a+1 2a-1は奇数でgが2であると2a+1 2a-1は偶数になってしまうからです。

Answer 2

ぽっきー

g,n,mは正の整数よりgが1でn−mが2またはgが2でn−mが1の2通り考えられる。
ここでgは奇数2a−1と2a＋1の最大公約数と定義したから偶数になることはあり得ない。
したがってgが1になるしかない。

ひろあか

ありがとうございます！
理解出来ました、！