Question

@??

3枚目の、赤線部分がnではなくn−1になるのはなぜですか？

102 Lv. ★★★
解答は164ページ。
えを絶対値が1の複素数とする。このとき以下の問いに答えよ。
O) 2-2の実部が0となるようなzをすべて求めよ。
(の 2+zの絶対値が1となるようなzをすべて求めよ。
(3) nを自然数とする。z"+1の絶対値が1となるようなzをすべてかけ
合わせて得られる複素数を求めよ。
(東北大)

(3)複素数平面上において, 2つの複素数 a, Bの偏角をそれぞれ0、 0zとすると、積
問題は43ペーッ
102 ド。モアブルの定理 Lv.★★★
モアブルの定理
複素数の累乗が登場しているので,zを極形式で表して、ド
考え方
を利用しよう。
Process
zを極形式で表す
解答
|2|=1より
2= cos0+isin 0 (0<0<2元) …
モアブルの定理を
利用する
ド
VBC or
(1)のより,ド·モアブルの定理から
2ーz= (cos30+isin30)-(cos0 +isin0)
=(cos 30 - cos 0)+i(sin30- sin0)
とおける。
2ー2の実部が0より
cos 30-cos 0=4cos°0-3cos0-cos0
=4cos0(cos?0-1)
=4cos 0(cos 0-1)(cos0+ 1) = 0
cos 0 = 0, 土1
3
元,
てであるから
T
0S0<2x より0=0,
2
範囲に注意して、編角
2=+1, ±i答
を求める
l(2) 12+2312||2+1|3|2*+1| (:: |z|=1)
|2+1|=1
M20+z1=1より
のより、ド·モアブルの定理からz'= cos40 +isin40 なので
|(cos40+ 1)+isin40|? = 1°
(cos40+ 1)?+sin 40 = 1
18
B.Cは
cos 40 =
00
2+2cos40 =1
2
三
食 %3D00:00
0S40< 8π より
-元+2kr (k=D0, 1, 2, 3)
3
4
2
=ーェ+2kr.
3
40
k
0=-+
k
T,
2
π
6
2
3
よって,求めるzは
3
3
土
土
i)(複号任意)答
2ニ王
2
2
2

第34回
3ペー
cos n0 +isin n0
(coS n0 +1)*+ sin°n0 = ]
1
ド·モアプルの定理を
利用する
リルの定理
ると、 積
cOs n0 =
2
6.ngと?
よって
n0=
2
-元+2kr、
3
4
-元+2kr(k=0, 1, 2,…, n-1)
3
noト 2
す
2k
4
2k
π+
3n
2
0=
3n
T
n
n
範囲に注意して,偏角
を求める
定理を
のだから
2k
4
2k
π+
n
複素数の積と偏角の関
係を利用する
π+
3n
元+
3n
n
=0
4k
π
n
2
2元+2元(n-1)=D2nπ
ガー1
n
と=0
よって、求める値は
cos(2nx)+isin(2nr)=1
さ合
(1)) Aコかとの ()
員角
3
(y) st a)nst
20mat
をする
(3)SVCB
く。
DAA-BAD そは%3 (青面)
のを
に変形する
核心は
ココ!-
2"が問題に一ド· モアブルの定理を使え!
2 期
第1章
第2章
第3章
第4章
第5章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マスティ☆

0≦θ<2π という前提条件があるからです。
この前提条件の元だと、
0≦nθ<2nπ
となり、k≧n で
2/3 π +2kπ >2nπ となってしまうため、前提条件を満たしません。なので k≧n は除いています。

@??

納得しました！ありがとうございます！！