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どう説明すればいいのかわかりませんが,,,, f(k) の fは関数functionを意味します。
f(k)は、入力として k を与えると、この関数は f(k) という結果を出力します。
たとえば、f(x) が x+3 という変換を施す関数であるとすると、
f(1)=1+3=4, f(2)=2+3=5 となります。
問題の前半が見えないのでなんとも言えませんが、この数列{an}が 3,5,7,9,11,13,15.... といった
等差数列であるとすると、
a₁=3 = 1+2
a₂=5 = 2+3
a₃=7 = 3+4
a₄=9 = 4+5
:
ak = k+ (k+1) と表すことができますが、以下のようにも表せます。
a₁=3 = 2²-1²
a₂=5 = 3²-2²
a₃=7 = 4²-3²
a₄=9 = 5²-4²
:
ak = (k+1)²-k²
上記の場合は、項番号を2乗した変換式の前後を差分で表現できるので、f(k)=k²とすると、
a₁=f(2)-f(1)
a₂=f(4)-f(2)
a₃=f(4)-f(3)
:
ak=f(k+1)-f(k) と表せます。
上記のように、数列{an}が、ak=f(k+1)-f(k) の形で書ける数列だったからではないでしょうか。
なお、この場合の数列の和は簡単に求められます。
ak=f(k+1)-f(k) であれば、a₁+a₂+...+an=f(n+1)-f(1) のように。
なぜなら、a₁+a₂+a₃+...+an = {f(2)-f(1)}+{f(3)-f(2)}+{f(4)-f(3)}+...+{f(n+1)-f(n)} = f(n+1)-f(1)
なので、数列{ak}のk=1...nまでの合計値Σ (k=1からnまで) = f(n+1)-f(1) ですから。
もともとの質問は、数列{an}の一般項akが、ak=f(k+1)-f(k)のような形に書きあらわされる、と書かれただけの問題文のみなので、
この練習問題７と関係あるかといわれてもよく分かりません。
とはいえ、部分分数分解することにより、ak=f(k+1)-f(k) もしくは ak=f(k)-f(k+1)のようにできる場合、その数列の合計は簡単
に求められますし、もともとの質問にも ak=f(k+1)-f(k) のよう形のことに触れているので同じことを論じようとしているという
意味で、関係あるでしょうね。
この練習問題７についていえば
1/((3k-2)(3k+1)) = 1/3*(1/(3k-2) - 1/(3k+1))
f(k)=1/3*(1/(3k-2)) とすると、f(k+1)は f(k+1)=1/3*(1/(3(k+1)-2))= 1/3*(1/(3k+1)なので、
1/((3k-2)(3k+1)) = 1/3*(1/(3k-2) - 1/(3k+1)) = f(k) - f(k+1) の関係にあることがわかります。
1/((3k-2)(3k+1)) = 1/3*(1/(3k-2) - 1/(3k+1)) = -1/3*(1/(3k+1) - 1/(3k-2)) と変形して、
f(k)=-1/3*(1/(3k-2)) とすると、f(k+1)は、 f(k+1)=1/3*(1/(3(k+1)-2))= 1/3*(1/(3k+1) なので、
1/((3k-2)(3k+1)) = 1/3*(1/(3k-2) - 1/(3k+1)) = -1/3*(1/(3k+1) - 1/(3k-2)) = f(k+1) - f(k) の関係とすることもできます。
いずれにしても、数列{an}の一般項akが「項の前後の差」の関係で表せれば、
数列{an}の合計は、以下のように1項目とn+1項目のみが残る形となるので、容易に計算できることになります。
ak=f(k)-f(k+1) の場合、Σ(k=1からnまで)ak= (f(1)-f(2)) + (f(2)-f(3)) + (f(3)-f(4)) + ... + (f(n)-f(n+1)) = f(1)-f(n+1)
ak=f(k+1)-f(k) の場合、Σ(k=1からnまで)ak= (f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + (f(4)-f(3)) + ... + (f(n+1)-f(n)) = f(n+1)-f(1)
誤記訂正。
…もともとの質問にも ak=f(k+1)-f(k) のような形のことに触れているので…
回答ありがとうございます。
この問題と何か関係はありますか？
この式が書かれていたのがこの問題の直後のページで、「前のページで行った…」と書いてあったのですが、この問題の解答にはこの式が直接出てきてないのでよく分からなかったです…。