Question

@??

2枚目の印をつけた部分の変形の仕方を教えてください🙇‍♀️

268.<eに収束する無限級数)
自然数n に対して関数 fA(x), Fa(x)を次のように定義する。
f(x) =x"e*, F.(x) = fa(t) dt
1)0Sx<1 のとき 0Sf(x)Sーが成り立つことを示せ。
e
=0 を示せ。
(2) lim
オ→ n!
11
(3)(2)を用いてe=1+1+
1
を示せ。
【名古屋市大·医)
2!
3!
n!

ゆえに,0SxS1においてf(x)は単調に増加するから
268
e(1) に部分積分を行うことにより,F.(1)=
辺を(n+1)! で割ると、,数列 の階差数列を表す式が得られる。
ー+(n+1)F(1) という漸化式が導
e
3)
A(x)=x°e-*から
x)= nx"-leメーx"e"*= (n-x)x^-1。-x
とって、0SxS1のとき f(x)20
やnは自然数なので、
0SxS1 のとき nーx
またx-120,e->0
fa(0)SS(x)S S(1)
0) = 0-1= 0, fa(1) = 1·e-!=1
であるから
e
0SxS1 のとき 0sf(x)s1
)=SD )から 0sSa)drs}d
区間 aSxSbで
f(x)Sg(x) ならば
よって 0SF(1)s
各辺をn!で割ると 0s
S
n!
en!
ゆえに lim
カー en!
11
-=0 から lim
=0
n!
中はさみうちの原理から。
Fo)= --
a--e)
よって Fn+(1)-(n+1)F,(1) =
両辺を(n+1)!で割ると
とし、{a.l
a。
n!
n!
-0-S-1-S
階差数列を(b)とする
b。=aa+1-a
また
=F(1) =
1.1
%3D
2
=1-
よって,n22のとき
やn22 のとき
1
1
a=a」+)6。
=1
n!
e
1_154
eG!
213
1-
eak
te
e
ゆえに
=e-1-
e*
n!
よって e1-)-1+2。
n!
k!
=0 であるから
e= lim1+
k!
lim
n!
1
n!
1
1
すなわち e=1+1+
2!
3!
数学重要問題集(理系)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

イトカズ

細かく計算するとこんな感じになりますm(_ _)m

@??

ありがとうございます！！納得できました🙇‍♀️