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modを使わない方法で解きます。
nを5で割った余りが3である数は
n＝5k+3 と表せるので、
n³⁰＝(5k+3)³⁰
30乗を全部できませんが、(5k)の30乗から1乗まではすべて5の因数が含まれるので、5で割り切れてしまいます。つまり、あまりに関連するのは3³⁰を5で割った余りになるのです。
では、3,3²,3³,3⁴,3⁵…を5で割ると余りがいくつになるか考えると、
3÷5＝0…3
3²÷5＝1…4
3³÷5＝5…2
3⁴÷5＝16…1
3⁵÷5＝48…3
となるので、3の〇乗の余りは、4つずつでループしています。
3⁴を5で割った余りが1であることを示したのは、あまりが1になる数が3⁴であったので、3³⁰＝3²×(3⁴)⁷と分けることによって、この数を5で割った余りは、3²を5で割った余りと等しくなることを示したかったのです。
(5k+3)³⁰
これを展開すると
(5k)³⁰+〇×(5k)²⁹×3+〇×(5k)²⁸×3²+…
+〇×(5k)×3²⁹+3³⁰
という展開式になるんです。
（〇は数字が入りますが、その数は今はどうでもいいので計算していません)
この展開した式は、最後の3³⁰以外の項にすべて「5」があるのがわかりますか？
これらの項を5で割ると割り切れてしまいますので、あまりは0なんです。
最後の3³⁰だけは5で割った余りは今のところわかりません。
だから、3³⁰を5で割ったときの余りを考えれば、n³⁰を5で割ったときの余りと一致するのです。
文字を使った説明になりますが、
5で割ると1余る数を5n+1、5m+1とします。
この2つの数の積は
(5n+1)(5m+1)＝25nm+5n+5m+1
です。これを5で割ると余りはいくつでしょう？
1です。25nm、5n、5mは5で割り切れてしまいますからね。
このように、あまりが1になる数をかけてもあまりは1にしかなりません。
これに(5l+4)をかけてみましょう。
(5l+4)(5n+1)(5m+1)＝(5l+4)(25nm+5n+5m+1)
です。これを5で割ると余りはいくつでしょうか。
4です。他の項は5で割り切れますから。
問題に戻りますね。
3⁴は5で割ると余りが1です。
上記の理由で(3⁴)⁷を5で割ってもあまりが1なのです。
これに3²がかけてあるので、3²のあまりが3³⁰の余りと一致するのです。
いかがでしょうか。
ありがとうございます、！
ありがとうございます！
なんで3^30を5で割った余りが余りに関連するんですか……？ごめんなさいつまりの後から理解できません🥲