Question

かいと

わかる方おられませんか？全然分からないです、

問 4.2回微分可能で2階導関数f"(z) が連続な関数全体の集合をC2(R) とす
る。(ただしょは実数とする。)C(R) は通常の関数の和と実数倍でベクトル
空間となる。
W={f(z) € C°(R)|f"(x) - 3f (x) +2f(z) = 0}
を考える。
(1) e", e2 はWの元であって一次独立であることを示せ。
(2) f(z) e Wのとき、行列
e2r f(x)
A=| (e")(e2r)' f'(x)
e"
を簡約化した行列Bを求め、rank(A) を求めよ。また、簡約化した行列Bの
すべての成分はェによらない定数であることを示せ。
(3) f(z) e W に対して、丸,tな,ts E Rを変数とする方程式、
te" + tze?r + t3.f(z) = 0
を考える。この方程式に自明な解以外の解が存在することを示せ。
( e2", f(x)) は必ず1次従属となり、ある定数山, de €
4) f(z) E Wを取ると(e",
Rを用いてf(z) = dje" + dze?e と表せることを示せ。
(注)この事実は2階線形微分方程式の解法に使われる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

これ難しく書いてあるけれどめっちゃ簡単ですよ。
単なる微分方程式解いたら、一般解f(x)+c1e^x+c2e^2
となります。
(1)は明らか (上のが一般解なので)
(2)もf(x)に上の一般解をぶち込むだけ。
rankAは単なる行列の基本変形するだけ。ちなみにrankA=2 そしてさらにAを簡約化すれば、行列の成分が
1,c1,c2だけで表現できる。
(3)(4)は一般解の形からほぼ自明。

哲治

少し難しいけれど、このトピックの一般理論はこんな感じになります。
関連資料としてアップしておきます。

哲治

続き

哲治

最後

哲治

常微分方程式は求積法は単なるパターン計算だけど、理論はけっこう難しくて特にこのように線形代数が完全に既知とされます。
この資料は有名なポトリャーギンの「常微分方程式」から。

かいと

ありがとうございます。
関連資料も目を通させて貰います。

かいと

(4)はどのように解答すればいいのですかね。

哲治

まず(1)でe^×,e^2×は一次独立はすでに証明すみ。
(3)よりf(×)=-t1/t3e^×-t2/t3e^2×よりd1=-t1/t3,d2=-t2/t3と見ればよい。
実際にもf(×)は簡単な微分方程式を解けば、e^xとe2×の線形結合でかける。
ゆえに(e^×,e^2×,f(×))は必ず一次従属。

かいと

なるほどです。
ありがとうございます