Question

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数3 基礎問題精講 42番、数列の極限（無限等比数列）の問題です。

何回も理解しようと、解説を読みましたが、理解できない点があります。

（1）（2）において収束することは、わかります。
ここで、（3）と（4）において、添付している画像の2枚目の注の部分の文章に、逆数を作れば0＜1／r＜1となり、収束させることができるとありますが、
すべて逆数を取れば収束するのでしょうか？
発散するものはありますか？

質問の意図がわかりにくくて、すみません。
ご教授ください。

礎問
42 数列の極限(IⅡ) (無限等比数列)
rn+1
第n項が
1+r"
(4) rく-1
合について調べよ。
(3) r>1
(2) -1<r<1
(1) r=1
n→0
精講
うになります。
極限値0(-1<r<1)]
収束
極限値1(r=1)
limr"=
+0
発散
n→ 0
振動する(rミー1)
この基礎問は誘導がついていますが,このことを頭に入れておけば, 自力で
場合分けをすることができます。
しかし,この問題は式が分数の形をしていますから, limr", limr"+1 を求
n→o
n→o
めたとしても不定形になる可能性があります。
解答
pn+1
1+r"
(アキー1)とおく.
an=
1
(1) r=1 のとき,an=
2
1
lim ani
2
(収束)
n→ 0
(2) -1<r<1 のとき, limr"=limr"+1=0 だから,
n→0
n→0
lim an=0(収束)
n→ 0
(3) r>1 のとき, an=
は0
0以外の定数
(分子,分母をr" でわっ
ておく
+1
0<<1 だから

r>1 のとき, limr" は発散しますが, 逆数をつくれば
lim an=r(収束)
73
n→ 0
のとき,limr" は発散しますが,逆数をつくれば 0<1<1
n→ 0
=0 と収束させることができます.次の(4)も同じ要
n
となり, lim
r
n→ 0
領です。
a,-,
r
r<-1 のとき,
n
+1
r
-1<と<0 だから、lim(-
1
=0
r
n
r
n→0
lim an=r(収束)
n→0
極限を求める問題の解答をかくとき, うかつにlim記号を分配し
てはいけません.
極限が lim (an+bn)=lim an+lim bn となるのは
m→8
n→0
n→0
lim an=α, lim bn=8 (α, 8:定数)の形のとき
n→8
n→0
すなわち,数列{an} と数列 (bn) がともに収束するときです. だから,
解答のように各項が収束していることを先に示さなければなりません。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブラッキー愛好家

r<1のとき、1/r>1ですから発散します。