Question

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次の会話はS君とE君が倍数について話し合った内容です。 文章を読んで, あとの間
いに答えなさい。
S君 今日の授業の宿題は倍数の判別法について調べてくることだったよね。 2の倍数と5
の倍数は簡単だね。
E君『一の位が0, 2, 4, 6, 8ならば、その数は2の倍数』で, 『一の位が0か5ならば,
その数は5の倍数』だよね。
S君 そうそう。3の倍数の判別法も知ってるよ。『各位の数の和が3の倍数ならば, その数
は3の倍数』だよ。
E君 じゃあ,例えば3147 の各位位の和は15で, 680436 の各位の和は 27 なので, これらは
3の倍数になるということだね。
S君そういうこと。 これらを2つ組み合わせると, (⑦ )の倍数, ( ④ )の倍数, ()
の倍数は判別することができそうだね。
E君そうか。例えば, (⑦ )の倍数は, 『一の位が 0, 2, 4, 6, 8 かつ各位の数の和が3
の倍数ならば, その数は( ⑦ )の倍数になる』ということで, 『一の位が0か5かつ各
位の数の和が3の倍数ならば, その数は(⑥ )の倍数』ってことだね。
S君 そうだね。他にはどんな判別法があるかな。 ちょっと調べてみよう。
(数分後)
E君 いっぱい見つかったよ。
S君 ほんとだ。 4の倍数や8の倍数などの判別法もあるけど, 2, 3, 5のような素数の倍
数の判別法に注目してみようよ。 例えば11の倍数とか。
E君 11の倍数ね。 あったあった。 なになに『各位の数を一つとばしに足した和どうしの差
が11の倍数もしくは0であれば, その数は 11の倍数になる』 と書いてあるね。
S君 それは知らなかったな。 ちょっと11の倍数をつくってみよっと。 えーと…例えば
10692 ならば, 1+6+2=9, 0+9=9なので差は0。 ということは11の倍数のはず。
計算してみたら…おっ!割り切れた!
E君 やったね!でもちょっと難しいね。 それじゃあ 192038 だったら?
S君 1+2+3=6, 9+0+8=17なので, 差は11。 192038 は11の倍数だね。
E君 ほんとに? 適当に数字を言ってみただけなのに。
S君 ははっそれはすごいな!

(1) (⑦ )~( )にあてはまる自然数を答えなさい。
(2) 十の位の数が2である3けたの自然数で、 3の倍数であり, かつ5の倍数であるもの
は全部でいくつあるか, 答えなさい。
(3) 次の計算をしなさい。 ただし,答えを求める過程も書きなさい。
10692+36×121×6+121×22×6
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(4) 4けたの数において, 下線部を次のように証明した。 (① )~( ③ )にあてはまる式
を答えなさい。
千の位の数を a, 百の位の数を6, 十の位の数を c, 一の位の数をdとすると、
4けたの整数は( ① )と表される。
(0 )=( ② )+6+d-a-c
=11(3 )+ (6+d) (a+c)
(③ )は整数なので11( ③ )は11の倍数である。
よって, (6+d)-(atc)つまり各位の数を一つ飛ばしに足した和どうしの差が
11の倍数もしくは0であれば, 4けたの整数は 11の倍数になる。

倍数