✨ ベストアンサー ✨
cos65°=sin25°
sin²25°=(1-cos50°)/2
ここで、50°=θとおくと、三倍角の関係から
cos3θ=4cos³θ-3cosθ
3θ=150°なので、
-√3/2=4cos³θ-3cosθ
4cos³θ-3cosθ+√3/2=0
8cos³θ-6cosθ+√3=0
ここで、x=2cosθとおけば、
x³-3x+√3=0・・・①
つまり、この式の解の中の一つが2cosθとなる。
ここで、θ=50°なので、45°<θ<60°より、
1/2<cosθ<√2/2<1.5/2
よって、
1<2cosθ<1.5
1<x<1.5
つまり、①の1<x<1.5の範囲の解が2cos50°となります。
①の左辺を微分してグラフを書けば、1<x<1.5の範囲に解が1つしかないのがわかります。
そこから逆に戻っていけばcos65°に辿り着きますね。
ただ、①の式は高校で習うような解き方では解は求まりません。カルダノの公式(いわゆる三次方程式の解の公式)がないとキツいでしょうし、使ったとしても解の吟味は勿論、そもそも解を求める事自体が面倒です。(少なくとも私はしたくありません)
一般的に、四則演算と2乗根とcos20°を用いて表すことができる三角比については、容易にその値を求めることはできないことが知られています。少なくとも、四則演算と2乗根では表せません。いわゆる角の三等分問題というやつです。
cos50°=sin40°=2cos20°sin20°
また、
cos65°=sin25°=√((1-cos50°)/2)
よって、
cos65°=√(1-2cos20°sin20°/2)
cos65°=√(1-2cos20°√(1-cos²20°))/2
ですから、cos65°は四則演算と2乗根だけでは表すことは不可能です。
丁寧に説明していただきありがとうございます🥲
本当に助かりました、、ありがとうございます！！
式がややこしく、何度も投稿し直してしまい申し訳ないです。