数学
高校生

数Bのベクトルと図形です。
(1)の解説の4行目から6行目にかけてがわかりません。
なぜ最終的にAH=OB+OCになるのでしょうか?

428 基本 XOOO 例題30 線分の垂直に関する証明 AABCの重心を G, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。 (1) OA+OB+OC=OH である点Hをとると、 Hは△ABCの垂心である。 (2)(1)の点Hに対して, 3点 0. G. Hは一直線上にあり GH=20G 基本 23 基本 68 [類山梨大) 指針>(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で ある。 AH+0, BC+0, BH+0, CA+0のとき AHIBC, BH」TA → AH-BC=0, BH·CA=0 であるから,内積を利用 して. A[(内積)=0] を計算により示す。 0はAABC の外心であるから,|DA|=|OB|=|0C| も利用。 A CHART 線分の垂直 (内積)=0 を利用 振分OA 開の THAHO 解答 直角三角形のときは 2C=90° とする。 ) このとき,外心は辺 AB上 にある(辺 AB の中点)。 A (1) ZAキ90°, ZBキ90° としてよい。 このとき,外心0は辺BC, CA上 の にはない。 OH=OA+OB+OC から AH=OH-OA=OB+OC ゆえに AH-BC =(OB+OC)-(OC-OB) =|OCP-1OBP=0 の 00 030OR+O B C Cに BC=OC-OB (分割) 0-5 AABCの外心0 同様にして OA=OB=0C (数学 A) BH-CA=(OA+oC). (OA-OC) =OAP-1OCP=0 AH=OB+OC+ó, BH=OA+OC+0 DA(検討)A また,①から よって, AH+0, BC+6, BH+0, CA+0であるから AHIBC, BHICA すなわち AHIBC, BHICA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 OA+OB+OC 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH) を オイラー線 という。 ただし,正三角形は除く。 (2) OG= LOH から OH=30G 3 三 3 (1) から OA+OB+OC=OH ゆえに GH=OH-OG=20G よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり の GH=20G 練習 右の図のように AADO

回答

✨ ベストアンサー ✨

問題文より
OHベクトル=
OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル
であり、移項すると
OHベクトル-OAベクトル
=OBベクトル+OCベクトルになります。
AHベクトル=OHベクトル-OAベクトル=(左辺)なので
AHベクトル=OBベクトル+OCベクトル
になります。

chopin

とても納得しました!!
ありがとうございます!!

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