Question

tofu

緑色のマーカーの部分の解き方を教えてください🙇🏻‍♀️
赤色の書き込みは合っています。

(49 不定方程式
太郎さんが、スーパーマーケットで定価90円の商品Aを×個,定価37円の商品Bをッ個
購入したところ,商品Aの購入金額は,商品Bの購入金額より350円だけ高かった。ただし,
x, yは0以上の整数とする。
太郎さんの予算が40,000円以内であるとき,太郎さんが購入した商品Aの個数について考え
よう。ここで,商品Aと商品Bの定価は,消費税を含むものとする。
(1) xとyは、等式 x-ヴy=350 を満たす。
(2) 方程式アイ]m-[ウエn=1 を満たす整数 m, nの値は,整数んを用いて
コ 千
m=[オカを+ , n=[タケk+[カサ」
タケを+白ザ
と表される。
(3) 太郎さんが購入した商品Aの個数は最大でシスセ|個,最小で ソ 個である。
p.71 5)
O6

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

問題を言い換えると、
「90x-37y=350⋯(1)の整数解のうち、
{x≧0, y≧0
{90x+37y≦40000
を満たす、最大および最小のxを求めよ」
ということです。

方針: (1)の整数解を求めて、条件の不等式を利用して最大と最小を求めます。

まず、(2)を利用して、(1)の整数解を求めます。
(2)の整数解の1つはm=7, n=17ですから、(1)の整数解の1つはその350倍のx=2450, y=5950となります。よって、
90x-37y=350
-)90×2450-37×5950=350
90(x-2450)-37(y-5950)=0
となり、90と37は互いに素だから、x,yは整数kを用いて、
x=37k+2450, y=90k+5950
と表せます。これが(1)の整数解です。
ここで、x=37k+2450≧0, y=90k+5950≧0より、
k≧-2450/37≒-66.2, k≧-5950/90≒-66.1
これらより最小のkが-66だとわかり、同時に最小のxがわかります。すなわち、
x=37×(-66)+2450=8
です。
また、90x+37y≦40000より、
90(37k+2450)+37(90k+5950)≦40000
k≦-400650/6660≒-60.2
よって、最大のkは-61であり、
x=37×(-61)+2450=193
と求められます。

ちなみに、
350=90+37×7+1ということに気づければ、
90x-37y=350
90x-37y=90+37×7+1
90(x-1)-37(y+7)=1
(2)の結果を利用すると、
x-1=37k+7, y+7=90k+17
x=37k+8, y=90k+10
x=37k+8≧0, y=90k+10≧0より、
k≧-8/37, k≧-1/9
k=0すなわちx=8が最小。
また、90x+37y≦40000より、
90(37k+8)+37(90k+17)≦40000
k≦38651/6660≒5.8
k=5すなわちx=193が最大。
比較的簡単な計算で求められる。

tofu

ありがとうございます😊🙏🏻授業でやったのですが、最後時間なくてさらっと終わってしまい、理解が追いついていなくて、解答も配られていないので、助かりました！理解出来ました!!!
「ちなみに、」の後は先生も言っていました！この問題遠回りで逆に複雑にしていると言っていました。
いつも本当にありがとうございます🙇🏻‍♀️