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これは4次方程式の中でも解くのが難しいです。
まず、方程式の自明な解を、
±(定数項の約数)/(最高次の項の係数の約数)
から探します。今回は、±1, ±3 が当てはまりますが、x ＝ ±1, ±3 は方程式を満たしません。
次に、相反方程式 (○x⁴＋△x³＋□x²＋△x＋○ ＝ 0) の形になっているかを確認します。
今回はその形にはなっていません。
以上の結果より、以下の最終手段をとります。
x⁴－4x³＋7x²－10x＋3 ＝ (x²＋ax＋b)(x²＋cx＋d)
という恒等式を満たす整数 a, b, c, d の値を求めます。ただし、| b | ＜ | d | とします。
(右辺) を展開すると、
x⁴＋(a＋c)x³＋(ac＋b＋d)x²＋(ad＋bc)x＋bd
より、次の関係式が得られます。
a＋c ＝ －4 ･･･①、 ac＋b＋d ＝ 7 ･･･②、
ad＋bc ＝ －10 ･･･③、 bd ＝ 3･･･④
④より、(b, d) ＝ (－1, －3), (1, 3)
( ⅰ ) (b, d) ＝ (－1, －3) のとき
②より、ac－4 ＝ 7 ⇒ ac ＝ 11 ･･･⑤
①, ⑤より、a, c を解とする k の方程式は、
k²＋4k＋11 ＝ 0
この方程式の判別式をDとすると、D＜0 が分かるので、(b, d) ＝ (－1, －3) のときは不適。
( ⅱ ) (b, d) ＝ (1, 3) のとき
②より、ac＋4 ＝ 7 ⇒ ac ＝ 3 ･･･⑥
①, ⑥より、a, c を解とする k の方程式は、
k²＋4k＋3 ＝ 0
(k＋1)(k＋3) ＝ 0
k ＝ －3, －1
⇒ (a, c) ＝ (－3, －1), (1, 3)
ここで③より、3a＋c ＝ －10。
これに適するのは、(a, c) ＝ (－3, －1)。
よって、(a, b, c, d) ＝ (－3, 1, －1, 3)。
これより、
x⁴－4x³＋7x²－10x＋3 ＝ 0
⇒ (x²－3x＋1)(x²－x＋3) ＝ 0。
これを解いて、x ＝ (3±√5)/2、(1±√11 i)/2 ･･･(答)
となります。
そんな解き方あったとは知りませんでした💦
すごく勉強になりました！長いのに本当にありがとうございました😭✨