Question

おと

この問題の赤線部がよく分かりません。
limCn=C
というのは分かるのですが、
limC2n=C
となる理由が分かりません。
どなたか教えていただけませんか？

30 第1章 数数列の極限と無限級数
4,=1 …+ (カ%=D1, 2, 3, …)
とおくとき, lim(Anーlogn)=C となることが知られてい2
問 12
調和級数
1
ただし、
=(Can+l
=Can--
ガ→ 00
B,-1+号+·*nー丁 (n=1, 2, 3, …)
とおくとき,数列 (BaーKlogn}が収来するように定数Kの値を完。
1
=Can-
2n-1
ここで
limo
となるの
また, この極限値をCを用いて表せ。
Cn=An-logn とおくと, 条件は
Cn→C (n→c)
解法のプロセス
Cn=An-logn→Cが
この
。 精講
です。 そこで Bnと An との関係を調べましょう.
1
n-
Bnと Anの関係は?
1
1
1
B,=1+
2n
研
2
3
2n-1
1
2n
1
Bn= Azn-SA,
1
1
2
4
6
を
1
= A2n--
2
1
1+
3
An= Cn+logn を代入
2
n
1
=A2nー
上式に A,=Cn+logn を代入する と, Bnと
C,の関係式が導けます。
解答
C=An-logn とおくと
An=Cn+logn
lim Cn=C
n→ 0
また, B,は Anを用いて
B,=An-A。
と表せる。0, ③より
B,-Klogn
精講
= Am-4.-Klogn
-An-Klogn
合③を代入
*0を代入

31
=(Cen+log2)-(Cn+logn)-Klogn
2
= Can-
1
Cn+(log2+1ogn)- lognーKlogn
ニ
2
2
*発散する lognでまとめる
- Cm-C+log2+(}-
:C2n"
K)log n
ここで,②より
lim Cn=limC2n=C, lim log n=o
n→ 0
n→ 0
n→ 00
となるので、{(BnーKlogn}の収束条件は
K--=0
K=。
1
2
2
このとき、
Him(B,-号10gm)-C+log2
log n
n→8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ログアウト済み

n→∞ のとき、2n→∞ であることより、
limCn ＝ limC2n となるからです。

ログアウト済み

もう少し噛み砕いて言うと、n だろうが 2n だろうが、どちらの値も∞に飛ぶことに変わりはない、ということです。

おと

ごめんなさい、いまいちよく理解ができなかったのですが、
C2nはCnの要素であるから=で結べるということでしょうか？

ログアウト済み

そういうことではないです。
もう少し具体例を提示してみます。
例えば、Dn ＝ 1/n と数列を定義します。
このとき、lim[n→∞] Dn ＝ 0 ですよね。
同時に、lim[n→∞] D2n ＝ 0 が成り立つことは分かりますか？
これと同じことです。

おと

そういうことなんですね！
なんとなくわかりました。
ご回答ありがとうございました！！