Question

高校生ONCE

この問題の解説の赤線の所が理解できません。
別解の方も等差×等比になると言っているのですが、なんでそう考えられるんですか？
教えてください🙏

M
113.
2, 3,…)で定義され
ち小のの
ai=1, a2n=2a2n-1, a2n+1=a2n+ 2"!(n=1,
る数列 {a} について,
A)
(1) 第2n項anと第(2n+1) 項 a2n+1 を求めよ.Oo p
2n
(2) Ea を求めよ。
k=1
TD 5 3D
(山口大)
目番 001 さ4

196
bn+1
bn
1
のより,
2カ+1
2"
4°
したがって, }は公差一の等差数列である。
1
bi
のより,
であるから,
2
on
2
|n+1
会a-D-
bn
4
会社
2"
これより,
5す 1
n+1
bn
よって,
a2
n=2b,=(n+1)2"-!,
a2n+1=bn+1=(n+2)2"-1.
2n
n
Ea=2(424-1+42)
k=1
k=1
|n
n
=2(a2e-1+2a n-1)=32a2k-1.
k=1
k=1
ここで,
こaaー-2(+1)2-2=S
とa2%-1=と(k+1)2*-2=S
k=1
k=1
とおくと,
1
S=2+3+4·2+……+(n+1)2"-2,
2S=
の-3より,
2-1-1
-=n·2"-1.
2-1
よって、
2n
Ea=3S=3n·2n-1
k=1

W22
2"
2
2
an=(n+1)2"ー1.
れ
となるから,
これより,
係式
け
19 {a.} を公差dの等差数列,{bn} を公比r(キ1)の等比数列とするとき、
教列 {a,b,} の初項から第n項までの和 S,=D 2a,ba を求めるには, 次の
an+1=Q2n+2"= (n+2)2"-1.
3,
n
k=1
ようにすればよい。
S=abitazb2+a;bs+…+abn
より,
D…
rSn=
aibirtazb2r+…+an-ibn-17+anbar.
高さここで,b」r=b2, bar=b3,
…, bn-ir=b, であるから,上式は,
rSn=
abeta;bs+…+an-ibntanbnr
…2
となる。
これより,D-②を考えると,
(1-r)S,=abi+ (a2-a)b2+ (as-a:)bs+…+(an-an-1)bn-a,br
であ
0mo (9 ち
=abi+d(b2+b3+…+b)-a,b,r
)
…3
となり,
b2+bs+…+bn
は公比rの等比数列の和として,公式を用いて求めることができるから,③
の両辺を1-r(+0) で割ることにより,S,を得る。
以上を標語的にまとめると, 次のようになる。
す
示せ
一般項が(等差)×(等比)の形で表された数列の初項から第n項まで

プラチカ 数列