XMAR3L-61C1-01
6 問題
いに答えよ。ただし,iは虚数単位とし, 点Cを表す複素数の虚部は0より小さいとする。
(25 点)
複素数平面上に正六角形 ABCDEFがある。A(1-2i), B(13 + 66) とするとき, 次の各問
(8点)
(1)点Cを表す複素数を求めよ。
(2) 正六角形の中心Pを表す複素数を求めよ。
(3) 点Dを表す複素数を求めよ。
(8点)
(9点)
ポイント
複素数平面上の正六角形を題材にして, 複素数平面上での点の回転移動を考えてもらう。一般
に,複素数平面上で, 点 A(a) を,点B(B) を中心に角0だけ回転した点は
(cos0 +isin0)(α-B)+B
と表される。この公式を利用するうえで注意しなければならないことは,角0は向きのついた角,
すなわち,符号つきの角度であることである。本問を通じて, 複素数平面上での点の回転移動につ
いての考え方を正確に理解してほしい。
(1)点A, Bを複素数平面上に表すのが第一歩。次に,点Cがどのような位置にあれば六角形
ABCDEF が正六角形になるか考えよう。正六角形の1つの内角の大きさに着目すると…。
(2) (1)と同様に正六角形の性質を利用して,点Pの位置を点 A, B, Cを用いて表現してみよう。
(3) ここでも,(1)や(2)と同様に, 正六角形の性質に着目するのがポイントである。
解答
(1) 点A, B, Cを表す複素数をそれぞ
れ る1, 22, Z3とする。
ポイへ
2
ZABC =
TT
3
B子
より,点Cは点Aを,点Bを中心に
土子てだけ回転して得られるので
O1
-2
A
13
C C
このように,2つの場合が考
えられることに注意しよう。
{oo(=)
+isin(+今)}(21ー2)+22)
23=
COS
「ポイント」の (+)。
=(-テ+)(-12-8)+13+6
4 1- 2
=(1-2i) -(13+6i)
= -12 - 8i
=6+4i千6,3 4/3 + 13+6i (複号同順)
= (19±4、/3) + (10千6/3)i (複号同順)
条件より,Z3 の虚部は0より小さいので, 求める点Cを表す複素
数は
吟味を忘れずに。
23 = (19+ 43) + (10-6/3)i
(2) 点Pを表す複素数を z0 とする。
o ol。
