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118.(1)(2)も119.(1)(2)も共にわからない感じでしょうか。時間があるので教えましょうか？
すみません、合同式のノートを作ろうと考えていたので、どうせならノートを作ってしまって基本的なことはそっちを見てもらったら早いと考えたのですが、時間がかかりそうなので諦めました。
基本的な説明は今から貼る6枚を見てください。
119.(2)に関しては、数学的帰納法を使うのがわかりやすいし、自分もその解法が浮かんだのでその方針で書きました。習ってからやり直したら良い類の問題だと思います。
118.(2)に関しては、少しレベルが高いので、それぞれの(1)が理解できたようなら送ります。
なので、理解できたか教えてください。
大学入試で使うか？という質問をされていますが、それこそ118.(2)は大学入試レベルで、実際に神戸大で似たような問題が出ていた気がします。また、118.(1)なんかは別にn=7k+4で置けば合同式を使わなくても示せますが、合同式を使えば(7k+4)²+2(7k+4)+3を計算するのと、2+1+3を計算するのがどちらが楽で速いかということです。合同式なら30秒くらいで解けますよね。
それから、今回は質問されていないことをいくつか補足しておきます。
「1の位を求めよ」という問題で合同式が使えることもあります。こう聞かれたら、10で割ったときの余りを求めればよいです。
また、119.(1)みたいなバカでかい指数の問題は、合同式なら100%性質④を使ってb=±1に持っていく問題です。しかし、中にはb=±1にならなかったり、aもとんでもなく大きかったりする問題があります。そういう場合には、数2で習う二項定理を使わないといけないです。合同式は便利ですがいつでも使えるわけではありません。
作成中のノートのスクショの2枚目に書いてある通りに式に起こしました。
16を7で割った余りは2だからです。
元の定義に基づいて説明するならば
16を7で割った余りと2を7で割った余りはともに2だからです。
オレンジ線を引いたところは全部この変形です。
ありがとうございます！理解しました！
118の(2)教えて欲しいです🙇♀️！
写真にすごく簡潔な解答を書いたので、それを見ながら下の説明を読んでほしいです。
まず、背理法で示す方針をたてて、全部が5の倍数でない(5を法にしたときに0でない)と仮定します。
自然数の2乗を5で割ったときの余りの規則性を見つけるために、1から順に調べていくと、5ずつ1,4,4,1,0が繰り返されることがわかります。すなわち、mod5のもと0になるような数の2乗(写真の赤)は≡0(mod5)
mod5のもと±1になるような数の2乗(写真の青)は≡1(mod5)
mod5のもと±2になるような数の2乗(写真の緑)は≡4≡-1(mod5)
とわかります。
これで、すべての自然数の2乗を5で割った余りが求まったことになるので、あとは全パターン試すだけです。
今、全て5の倍数でないと仮定しているので、赤の場合を除いて4パターンのa²+b²を5で割った余りを求めます。当然等式なので、これがc²を5で割った余りになります。
この結果、(ア)と(ア)、(イ)と(イ)どうしだと、mod5で2や3となりました。
しかし、上で調べた結果、自然数の2乗を5で割った余りが2や3とはならないとしているので、c²(=a²+b²)を5で割った余りが2や3になることはあり得ません。
そして、(ア)と(イ)の組み合わせだと、≡0(mod5)になります。2乗して≡0(mod5)となるのは、もとの数が≡0(mod5)の場合だと上で示したので、cが5の倍数となり、仮定に反します。
したがって、aやbが5の倍数でないならば、cは存在しないか5の倍数といえるので(cも5の倍数でない数となることはないので)、矛盾していて背理法から示せました。
やっぱり合同式使い初めて間もない頃に解くにはちょっと難しいかな...という感じがしますね。わからないところがあれば聞いてください。
ちゃんとした解答の方で、(イ)と(エ)が逆転しています。すみません。
丁寧にありがとうございます！本当にありがとうございます！
質問させて貰います🙇♀️
一番下の行の、4→-1がよくわからないです。教えて欲しいです🙇♀️
あと、(イ)+(イ)ｻﾝﾎﾞﾝｲｺｰﾙ-2ｻﾝﾎﾞﾝｲｺｰﾙ3(mod5)の-2になったのと、-2から3になった過程がわからないです。教えて欲しいです！
≡はサンボンイコールではなく合同ですね(笑)。図形の合同と同じです。
mod5のもとで、4が-1になったのと、-2が3になったのは同じ理由です。
添付写真で説明しているように、5で割って4余る数、例えば19は5×3+4となるから余りが4なんです。ですが、19=5×4+(-1)と捉えることもできるから、4≡-1(mod5)になります。だから、同じ理屈で4≡9(mod5)でもあります。(19=5×2+9)
このように考えたら、4から5足していった数9,14,19...や5引いていった数-1,-6,-11,...は全て≡で結べますよね。この感覚があるかないかが合同式では大切です。19時と7時はどちらも12で割った余りが7という意味でどちらも午前と午後の「7時」だし、8/5と8/12と8/19はどれも7で割った余りが5であり、全て木曜日ですよね。合同式で負が出てくると頭が混乱しそうになりますが、正の数のときと同じことです。
-2≡3(mod5)も-2+5=3なので納得できますよね。分からなければ5で割って3余る数を何か考えて余りの定義通りに考えればよいです。18=5×3+3=5×4+(-2)ですよね。
(イ)と(イ)の組み合わせで-2になったのは、合同式どうしで足せるという性質(上でいう性質①)を使っています。
(イ)の場合ではmod5のもと-1になったので、(-1)+(-1)=-2ということです。
ちなみに、別に今回はmod5のもと4を-1に変形する必要はありません。結局4+4≡8≡3になるか、(-1)+(-1)≡-2≡3になるかだけの話で結局同じだからです。でも、上で説明した通り、仮にこのあとに100乗しないといけないのであれば4^100が出てきてしまうことになって、困りますよね。そういう意味で気づいてほしいからあえて書きました。
なるほど！！！
理解しました！
長々ありがとうございます！！！本当にありがとうございました！！！こんなに丁寧に教えて頂き感謝しかないです🙇♀️🙇♀️🙇♀️
こちらこそ、理解できたようで教えた甲斐がありました。
合同式を使ったら、1次不定方程式も合同式で解けるようになるし、何かと使い勝手が広がって整数が得意分野になると思うので、これで終わらずにもう少し頑張って色んな問題を解いてみてください。
合同方程式のところをあんまり触れられていないので、時間が許せば自分でやってみてください。(写真のような問題)
p.s.
整数問題の点数が上げたいならば、下の動画をおすすめします。
https://youtube.com/playlist?list=PL5h4s5x4ypw-rKJRS1jmTYVa4fK8me8eN
解いてみます🙇♀️！
ありがとうございます！
練習138の答えってなんですか？？
何度もすみません🙏
いえいえ、大丈夫ですよ。
(1) x≡5 (mod7)
(2) x≡4 (mod11)
(3) x≡2,5,8 (mod9)
です。
ありがとうございます！
そうです！
お願いします🙇♂️🙇♀️