Question

ふくろう

一問目はfxの最小値とgxの最大値を比べる方法(2問目の解法)で解けると思ったのですが、一問目が二問目と違う解法である理由を教えて下さい。

24 2つの2次関数 f(x)=x°+2ax+25, g(x)=-x°+4ax-25 がある。
(1)どんなxの値に対しても f(x)>g(x) が成り立つような定数aの値の
範囲を求めよ。
(2 どんな x,, xzの値に対してもf(x,))>g(x)) が成り立つような定数a
の値の範囲を求めよ。
→重要例題80
[類広島修道大]

どんなxの値に対してもf(x) > g(x) が成り立つ
9
x+2ax+25>ーズ+4ax-25
x-ax+25>0
よって
2
である。
-ax+25=0 の判別式をDとすると
D=(-a)?-4-1·25
=(a+10)(a-10)
0が常に成り立つのは D<0のときであるから
aie (a+10)(a-10)<0
-10<a<10
したがって
2どんな X, X2の値に対してもf(x)) >g(x2) が
成り立つための必要十分条件は
(f(x)の最小値)>(g(x) の最大値)
となることである。
y=f(x)
(x,f(xi))
(X2, g(x)
y=g(x)/
「) = (x+a?-a?+25 であるから, f(x) の意
小値は
ーa?+25
9) =ー(x-2a)?+4a-25 であるから, g(x)
8A
の最大値は 4a?-25
よって
ーa+25>4a°-25
a?-10<0
ゆえに
これを解いて
-V10<aく10

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

もやし

1問目は画像のようなグラフでもOK、2問目はNGという違いがあるからです。

もやし

あぁすいません、y切片とか軸については適当です。
2つのグラフの位置関係だけ見てもらえば。

Answer 2

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

まず、⑴と⑵で注目してもらいたいのが、f(x)とg(x)のxの値がx1とx2で違うということですね。
それを考慮してもらいますと、⑴では、xの値が同じなので、特に条件は⑴のお題以外に考えなくて良かったのですが、⑵は、f(x)>g(x)で注意してもらうのが、f(x)とg(x)のそれらのxの値がどんな値を取ってもいいと言うことに気をつけ無ければなりません。その時に重要なのは、f(x)がとる最小値とg(x)がとる最大値が逆転されてしまうと、f(x)<g(x)(大なりは大なりイコールとする)になってしまいますので、必要十分条件として、加えられているのです。

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

補足しますと⑴の問題はf(x)とg(x)のxの値が一緒なので、f(x)>g(x)にそのまま、xの値を代入してしまえば解けるのですが、⑵の場合だと、二つのxの値なので、そのまま、f(x)>g(x)にx1とx2を代入してしまったら、x1とx2は全てを不等式の左辺に持ってっても計算されずに出てきてしまうので、うまくいきません。

ふくろう

イメージが付きにくかったのですが、理解できましたありがとうございます。

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

すいません。言葉だけじゃイメージしにくいですよね！笑

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

電車の中で打ってましたんで許して下さい笑

ふくろう

（問題の）イメージがつきにくかった、という意図です。言葉足らずですいません。

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

いえいえ。数学というモノは一行の問題から最大限まで読み取って何十行も説明を書いた上での解答を導き出すものなので、たった1行の問題をイメージがしにくいのは普通なので大丈夫です！ただ、それですぐに解法を暗記というものだと身に付かないので、疑問をもち、解決方法としましては、何時間もその一問に対して時間を削ったり、他人に質問するなどが1番効率良い身に付きやすさだと僕は思うので、是非、これからも疑問をもって数学を解いていって下さいね！
(すいません。長くなりましたが、無視してくれて構いません。)