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回答

f'(x)が常に0以上であれば、傾きは常に0以上、つまり単調に増加します。

余談となりますが、単調に増加する、の定義がどうなってるか教科書で確認してみてください。傾きが0になるところを含むのかわかりません。

とりあえずサクシードでは傾きが0になるところも含むようですね。(であれば常にf'(x)=0である関数は単調増加と言えるのか?って問題が…。ある程度厳密な定義が記憶にないのでわかりませんが。)

サスケ

もう少し詳しく解説が必要な気がしますので追記します。

f'(x)=0が2解を持たない時、f'(x)のグラフは常に0以上の値を取ります。(下に凸の放物線ですから。)
f'(x)が表すのは、xにおけるf(x)のグラフの傾きです。その値が常に0以上であれば、上がり続けることはあれど下がるのことはない、すなわち単調増加のグラフとなります。

ここでf'(x)=0が2解を持たないための条件を考えます。二次方程式の判別式(以後Dとおきます)は解の個数を判別し、D>0の場合解は2個、D≦0の場合解は1つか0個です。

二次方程式が2解を持たないための条件を考えるときは是非グラフを書いてみてください。

ブロッサム

わかりやすく回答してくださり、ありがとうございました!

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すいません。真剣に考えたいのですが、解説の文章中の①がなにを示してるのかを教えて欲しいです。

問題の関数を微分した式ですか?

ブロッサム

すみません!
(1)の回答も載せるべきでした。

ご飯を食べてて、回答が遅くなりましてすいません。
この解説3行目で言っていることは、(1、2行目を理解してる前提で話しますが、) 「f'(x)のx^2の係数が正であるからf'(x)は0以上となる条件」というのは、f'(x)の式が下に凸なので、写真のように、x軸で境目を作ってどのときにf'(x)が0以上になるのかを調べると、実数解を1個ないしは0個となるかわかります。
ゆえに判別式をDとおくと、Dは0以下となるので
D=B^2-4ACから、(ここでいう、A=3,B=2a,C=2)
D=4a^2-4×3×2
=a^2-6
これが0以下となるので、答えは解答通りになります。

あと、言い忘れてましたが、x^2の係数が正の時のf'(x)を平方完成すると、必ず下に凸のグラフになりますよ!
その逆もまた然りです。

ブロッサム

そういうことだったんですね!
グラフまで書いていただき、ありがとうございました!

僕の説明で理解いただけたなら、良かったです!(*´Д`*)

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