Question

ブロッサム

サクシードⅡBの問題です。
（2）の解説の3行目からわかりません。

142 関数 f(x)=x°+ax+2x+3 が次の条件を満たすように、
定数aの値の範囲をそれぞれ定めよ。
(1) 極値をもつ。
(2) 常に単調に増加する。

3次関数S(x)が常に単
調に増加する
令常にS(x) 20
(2) f(x) が常に単調に増加するための必要十分条件は,f'(x) N0が常に
成り立つことである。
f(x) のx?の係数は正であるから,f'(x) 20が常に成り立つのは,①
が実数解を1つだけもつか,または実数解をもたないときである。
条件を満たすのは, DS0のときであるから
これを解いて
f(x) が極値をもたないような定数aの値の範囲は,(2) と同じで
-V6Sasv6 となる。
a?-650
-V6sasv6
参考

Answer 1

サスケ

f'(x)が常に0以上であれば、傾きは常に0以上、つまり単調に増加します。

余談となりますが、単調に増加する、の定義がどうなってるか教科書で確認してみてください。傾きが0になるところを含むのかわかりません。

とりあえずサクシードでは傾きが0になるところも含むようですね。(であれば常にf'(x)=0である関数は単調増加と言えるのか？って問題が…。ある程度厳密な定義が記憶にないのでわかりませんが。)

サスケ

もう少し詳しく解説が必要な気がしますので追記します。

f'(x)=0が2解を持たない時、f'(x)のグラフは常に0以上の値を取ります。(下に凸の放物線ですから。)
f'(x)が表すのは、xにおけるf(x)のグラフの傾きです。その値が常に0以上であれば、上がり続けることはあれど下がるのことはない、すなわち単調増加のグラフとなります。

ここでf'(x)=0が2解を持たないための条件を考えます。二次方程式の判別式(以後Dとおきます)は解の個数を判別し、D>0の場合解は2個、D≦0の場合解は1つか0個です。

二次方程式が2解を持たないための条件を考えるときは是非グラフを書いてみてください。

ブロッサム

わかりやすく回答してくださり、ありがとうございました！

Answer 2

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

すいません。真剣に考えたいのですが、解説の文章中の①がなにを示してるのかを教えて欲しいです。

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

問題の関数を微分した式ですか？

ブロッサム

すみません！
（1）の回答も載せるべきでした。

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

ご飯を食べてて、回答が遅くなりましてすいません。
この解説3行目で言っていることは、(1、2行目を理解してる前提で話しますが、) 「f'(x)のx^2の係数が正であるからf'(x)は0以上となる条件」というのは、f'(x)の式が下に凸なので、写真のように、x軸で境目を作ってどのときにf'(x)が0以上になるのかを調べると、実数解を1個ないしは0個となるかわかります。
ゆえに判別式をDとおくと、Dは0以下となるので
D=B^2－4ACから、（ここでいう、A=3,B=2a,C=2）
D=4a^2－4×3×2
=a^2－6
これが0以下となるので、答えは解答通りになります。

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

あと、言い忘れてましたが、x^2の係数が正の時のf'(x)を平方完成すると、必ず下に凸のグラフになりますよ！
その逆もまた然りです。

ブロッサム

そういうことだったんですね！
グラフまで書いていただき、ありがとうございました！

K.I.(旧名:ナルハタタヒメ)

僕の説明で理解いただけたなら、良かったです！(*´Д｀*)