した証明(2)
V2 が無理数の証明
基礎例題 57
基礎例題56 OO0
V2 は無理数であることを,背理法を用いて証明せよ。ただし,整数 n につ
いて,n°が偶数ならばnは偶数であることを用いてよい。
CHART
Q GUIDE)
証明の問題
直接も対偶利用もだめなら 背理法
3章
3One
ロ
背理法で、前ページの例題 56 と同様に /2=r (rは有理数) とおいてもうまくいか
ない。そこで,ここでは
9
約分できる数を除外するため。
m
V2 = (m, nは1以外の正の公約数をもたない自然数) とおく。
n
この等式の両辺を2乗して, 矛盾を導く。
2>0であるから, 自然数とした。
無理
田解答田
2 が無理数でない, すなわち V2 が有理数であると仮定する。
。 無適
このとき,/2は, 1以外の正の公約数をもたない自然数 m, n
定する
49, !
一有理数とは,整数 a, b
(6キ0) を用いてーの形
のを用いて
V2- m
と表される。
で表される数のこと。
参考 2つの整数 i,jの
最大公約数が1のとき,i
とjは互いに素であると
いう(数学A参照)。
n
積」 のから
m=V2n
両辺を2乗すると m°=2n° .…
日 よって, m’ は偶数であるから, mも偶数である。 一キxS
ゆえに,m はkを自然数として m=2k
3を2に代入すると
ゆえに,n° は偶数であるから, nも偶数である。
m とnがともに偶数となることは, mとnが1以外の正の公約
数をもたないことに矛盾する。
よって,V2 は無理数である。
3 と表される。
4k°=2n°
よって
n=2k°
←mとnが2を公約数と
してもつことになる。
Lecture 「nが偶数(奇数)ならばnは偶数(奇数)」
「n°が偶数ならばn は偶数」
実際,Aの対偶は
nが奇数ならば n=2k+1 (kは整数)と表され
よって,n°は奇数であるから, ④の対偶は真である。
また,のの逆「n が偶数ならばn'は偶数」も真である。
同様に,「n°が奇数ならばnは奇数」やその逆「nが奇数ならば n'は奇数」 も真である。
これらの事実は覚えておくとよい。
Aは,この命題の対偶を考えると証明できる。
の この大
n°=4k°+4k+1=2(2k°+2k)+1
-2°+2kは整数であるから,
2(2k°+2k)+1 は奇数。
「nが奇数ならばn'は奇数」
EY 57° /3は無理数であることを証明せよ。ただし, 整数 n について, n° が3の
【類富山県大,北星学園大)
倍数ならばnは3の倍数であることを用いてよい。
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