島8章 整数の性質
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3 不定方程式
|例題 260方程式の整数解8)
二
方程式の整数解9
473
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例 題 261
(nは数)
え方 3x+4xyー4y?=(3x-2y)(x+2y)と因数分解できることに着目し,与式。
(x, yの1次式)x(x, yの1次式)=(定数)の形に変形する。
解答 3x°+4xyー4y°=(3x-2y)(x+2y)より,
3x°+4xy-4y?+4x-16y-28
=(3x-2y+p)(x+2y+q)+r …0
として,定数p, 9, rの値を定める。
のの右辺は、
3x+4xy-4y?+(カ+3q)x+2(カーq)y+pq+r となる。
のの両辺の係数を比較すると,
p+3q=4 ……②
2(カーq)=-16 …③_ XIOx)×(定1
pq+r=-28 ④
2, 3より,カ=-5, q=3
これを④に代入して,
これらを①に代入すると,
3x°+4xy-4y?+4x-16y-2859月(4
=(3x-2y-5)(x+2y+3)-13 式 の
3x°+4xy-4y?+4x-16y-28=0 より,
(3x-2y-5)(x+2y+3)=13 6
x, yは整数であるから, 3x-2y-5, x+2y+3 も整数
である。
したがって, ⑤を満たすのは,
(3x-2y-5, x+2y+3)
大景 (東海大)
2次の項(5x*+2xy+y°) が因数分解できない。
要があることを利用する。 +
(S05)
xについて整理すると,
5x°+2(y-2)x+y°+4y+7=0 …0
解答
恒等式の考え方
(数学IIで学ぶ)
D
味(09 Je
ー(y-2)±(D
5
とおくと,①の解は、
vが整数値をとるとき, xが実数となるのは, D'20の
ときである。
D'= (y-2)°-5(y°+4y+7)=-4y?-24y-31
E+v- =-4(y+3)?+5
したがって,
ぶ
r=ー13 で
A dp-(ロ+)(6+x)
-4(y+3)?+520
5
4
(y+3)°S で, yは整数より, Iy+3|=0, 1
D'20 の2次不等式
がうまく因数分解でき
ないときは,yが整数
であることを利用して,
この方法を使う。
ly+3|=0, 1
これで場合分けする。
4)
これより,
さらに,x は整数であるから, ②より, D'が0か平方数
でなければならない。
y=-3 のとき,
ソ=ー4, -2 のとき,
y=-4 のとき, ②より,
y=-2, -3, -4
10よ00
D'=5(不適)
D'=1=1°
E3
( 3x-2y-5=A
x+2y+3=B
を解くと,
A+B+2
つまり,
x=1(適する), x= (不適)
y=-2 のとき,②より,
3
5
X=
4
3B-A-14
ソー
x=1(適する),x=(不適)
よって、
よって, x, yは整数より,
8
より, A=1, B=13
のとき, x=4, y=3
Focus
Cus
.0
ax°+ bxy+cy?+dx+ey+f=0 の型の整数解
→(x, yの1次式)× (x, yの1次式)=(整数)の形を作る
の2次方程式とすると, (判別式)20
これより整数yの値を絞り込む
考え方 例題() との問題
