Question

良明

四角で囲ったところが分かりません
どのようにしてx=tが重解を持つのかを教えていただきたいです
よろしくお願いいたします！

解答
207 f(x) =x1-4x2から
「曲線C上の点P(t, "-4t)における接線lの方程式は
f(x) =4x3-8
key 曲線Cと接
点P(t, f(t)) で
共有点のx座標
はx=tを重解に
yー(24-42)= (4t-8:)(x-1)
アy=(4f°-8)x-344+4f°
すなわち
上って, 曲線Cと接線0 との共有点の x座標が満たす方程式は
4 Ar2-(A+3
0A,A2
OA.
すなわち
イx-4x?-(4f°-84)x+3f4-4f?=0
これがx=tを重解にもつから, 左辺は(xーt)?を因数にもつ。
x?+2tx+3t2-4
x2-2tx+°)x*
x4-2tx?
f(a)
-4x?-(4f°-84)x+344-4f2
+°x?
2tx°-(t?+4)x?-(4f°-8:)x
-4x?
(3t2-4)x?-(6t3_84)x+3f4-4t2
(3t2-4)x?-(6t3_84)x+3t4-4t2
式の分子を
-f(a) の
2tx°
+2°x
0
(xー)(x+2tx+3f2-4)=0
交点のxはxキtであるから, 方程式
ウェ?+2tx+3t? -4=0
したがって
おいて,
まが等しい
の
2個にす。
曲線Cと接線0がP以外の2点で交わるとき, ①はxキtの異なる
2つの実数解をもつ。
のの判別式を Dとすると, このとき
D
=P-1-(3f2-4)=-2(2-2)>0
4
-V2<tく2
また, ① の解はxキtであるから
t2+2t2+3t2-4キ0
よって
2
support 曲線C
点P以外の2点
ら,交点のxは
とに注意する。
ゆえに
キ!
3
V6
tキ士
3
したがって
2, ③の共通範囲を求めて
-12<tく
V6
V6
くt
3
V6
3)
3

207 4次曲線C:y=f(x)=x*-4x? 上の点P(t, f(t)) における接線!がP
以外の2点でCと交わるような実数もの範囲を求める。接線!の方程式は
/0 コである。したがって, 4次曲線Cと接線!との共有点のx座標が満た
す方程式は となる。このうち, 交点のxはxキtであるから, 方程式
を満足する。したがって, 求める実数tの範囲は
となる。
[05 明治楽大)