ある条件で一つの式が成り立つ時、それを広い範囲に拡張しようとするときは、もともとの条件がなぜ成り立っていたかを考えるのが大切です。
2つの自然数の時に、なぜGL＝abなのかを考えてみましょう。
いま、Gはa,bの最大公約数なので、
a=Ga’, b=Gb’(a’,b’は互いに素)とおけます。
また、最小公倍数Lは
L=Ga’b’ですので、
GL＝G²a’b’=(Ga’)(Gb’)=ab
よってGL=abでした。
では3つになったらどうなるでしょうか。
まず自然数a,b,cの最大公約数をGとすれば
a=Ga’
b=Gb’
c=Gc’
(a’,b’,c’は互いに素)とおけます。
また、最大公約数Lは
L＝Ga’b’c’と表せるので、
(GL＝G²a’b’c’=(Ga’)(Gb’)(c’)となり、あと一つGがかけられていれば綺麗になりそうなので)
G²Lを考えて、
G²L＝G³a’b’c’=(Ga’)(Gb’)(Gc’)=abc
よって3つでは、
G²L＝abcが成立することになります。
ではn個の自然数ではどうなるでしょうね。
すみません。
検証しましたが、そうなりませんでした。
反例がひとつでもあるとアウトですよね。、、
例えば、60, 126, 450 の場合、
G最大公約数=6
L最小公倍数=6300
です。
G²L=abc が成立するなら
6²・6300=60・126 ・450 となるはずですが、結果は
226800≠3402000でした.....
すみません、私の証明で不十分なところがありましたね。
まず自然数a,b,cの最大公約数をGとすれば
a=Ga’
b=Gb’
c=Gc’
(a’,b’,c’は互いに素)ー★
とおけます。
また、最大公約数Lは
L＝Ga’b’c’と表せるので、
G²Lを考えて、
G²L＝G³a’b’c’=(Ga’)(Gb’)(Gc’)=abc
よって3つでは、
G²L＝abcが成立することになります。
この★の条件があるので、a’,b’,c’が2,6,3
のときのように、「すべてが同時に互いに素」という条件が成立していないときは成り立たなくなってしまいます。
逆に言えば、「3つの自然数a,b,cで、その最大公約数をG、最小公倍数をLとしたとき、a/G,b/G,c/Gがそれぞれすべて互いに素ならば、G²L＝abcが成り立つ」ということは、以上の証明で証明できました。
画像で、3つの自然数で常に成り立つ式を考えたものを貼っています。全く面白みのない式ですが、参考にしてみてください。
そもそも、3つの数の最大公約数や最小公倍数を取る機会はこれからないとは思いますが、一つのことを学習してそれを一般化してみようと考え、さらに他人の証明を丹念に検証する、というのは素晴らしいと思います。これからも是非頑張ってください！
ありがとうございます。
3つ以上の数の場合は、それぞれ全てが互いに素の関係に
ならないのですね。
実際にG=10でa' b' c'が互いに素である
a, b, c をそれぞれ、20 30 70 で確かめてみましたが、
G²L=abc
42000=42000 となりました。すごいですね。
ただ、下の画像の
同様に 以下の説明、式がわからなかったので
くわしく教えて頂けますか？
あと、できたら、
｢ニ乗｣｢三乗｣の記号をどのようにうっているのか
教えて頂けたら嬉しいです。
遅れてすみません。
理解できました。ありがとうございます。
G²L=abc
本当にそうなるのか確かめて、
n個の自然数で考えてみようと思います。
ちなみに｢²｣ってどのように打ちましたか？
(自分のやり方も知ってるのですがもしかしたら楽なやり方があるかもしれないと思ったので)