円順列は｢回して同じ並びなら同じ列と考える｣ということを前提としていますので、これは覚えておいてくださいね。
円順列が(n-1)!通りになる理由はいくつかありますが、そのうち｢これが1番簡単かなぁ？｣と思ったものを記述しておきます。
まず、①②③④⑤の球が1つずつと、球を入れる箱(形や大きさは全く同じもの)が5つあるとします。箱を円形に並べると、写真の図1のようになりますね。この箱の1つに①の球を入れます。写真の図2のようになります。ここで、箱は全て同じ物であり、かつ円順列なので、どこの箱に①を入れようが、1通りです。
では、残りの箱4つに②〜⑤までの球4つを入れていきます。例えば図3のようになりますが、では、②~⑤の4つの球の並びは何通りあるかというと、4！＝24通りですね。
このように、1つを固定してから残りの順列を求めると、答えが出てきます。(元々①~⑤の5つありましたが、答えとなる式は4！=(5-1)！になってますね。)
ちなみに、円形に並べた箱を隣通しで紐で繋げてあると考えれば分かりますが、残りの4つは円順列ではありません。(※図4参照)
