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n=1, 2, 3 あたりで実験すると，
dⁿ/dxⁿ=(-1)ⁿ(x-a)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾n! であることが予想できるので，この等式が成り立つことを数学的帰納法により示す方針で行きます。
[ⅰ] n=1 のとき
d/dx(x-a)⁻¹=-(x-a)⁻²=(-1)¹(x-a)⁻⁽¹⁺¹⁾･1! より成立。
[ⅱ] n=k+1 (k∈ℕ) のとき
n=k のとき成り立つと仮定すると，
dᵏ⁺¹/dxᵏ⁺¹(x-a)⁻¹=d/dx(-1)ᵏ(x-a)⁻⁽ᵏ⁺¹⁾k!
k が偶数のとき
dᵏ⁺¹/dxᵏ⁺¹(x-a)⁻¹=d/dx(x-a)⁻⁽ᵏ⁺¹⁾k!=-(k+1)(x-a)⁻⁽ᵏ⁺²⁾k!=-(x-a)⁻⁽ᵏ⁺²⁾(k+1)!=(-1)ᵏ⁺¹(x-a)⁻⁽ᵏ⁺¹⁺¹⁾(k+1)!
k が奇数のときも同様にして成り立つ。
ゆえに， n=k のとき成り立つと仮定すれば n=k+1 のときも成り立つ。
[ⅰ], [ⅱ] より， dⁿ/dxⁿ(x-a)⁻¹=(-1)ⁿ(x-a)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾n!.
