✨ ベストアンサー ✨
写真に載せたとおりです。
引用元
https://examist.jp/mathematics/explicit/youkansuu-graph/
具体的な問題とかがあったら説明しやすいです。
(1)はe^xのグラフがx軸に漸近するのでなんとなくx軸が漸近線になるという感覚をもてるとよいです。答案でちゃんと書くときにはx→-∞に飛ばして、極限を調べてやる必要があります。この極限はロピタルを使わないとムリですが、今回は問題が与えてくれているのでそれを使えばよいです。x→∞は調べるまでもないですが、xが大で∞に飛ぶx^2と∞に飛ぶe^xの積だから、当然∞にいくので、+∞側はx軸に漸近しません。x^2もe^xもすべての実数で定義されるので、縦の漸近線はないですね。
(2)漸近線とは関係ないですが、log(x)がx>0でないと定義されないという感覚は必要です。log(x)自体はy軸(x=0)が漸近線ですが、かけられているxがx=0だと0になっちゃうので、今回はy軸は漸近線にはならないです。x>0ではxもlog(x)もどっちも実数全体をとりうるから縦の漸近線はないし、x→∞だと∞(xもe^xもxを大きくすると∞に行くので当たり前)なので、このグラフに漸近線はないと思います。
(3)logが絡むので(2)と同じでx>0に気を付けます。今回は分数関数なので、定義されない分母0となる時に、縦の漸近線ができますね。実際にやると、log(x)=0となるx=1が漸近線になりそうですね。実際にはきちんとx→1の極限をとる必要があります。1に+から近づけると+∞、-から近づけると-∞となりますね。それから、x→∞にとばすと、問題文で与えられているように∞にいくので、x軸は漸近線になりません。
(4)分数関数なので、分母0で漸近線があります。x=0となるとき、つまりy軸が漸近線です。答案ではきちんとx→0で極限をとりましょう。x→±∞で0なので(x→±∞で0に行くもの同士の足し算だから当然)両端でx軸に漸近します。
(5)分数関数なので分母0と言いたいところですが、実際にはx=±iでないとそうはならないので、今回は全ての実数をとり得て、縦の漸近線はありません。
分母の次数が高いからx→±∞で0に行くのはすぐにわかりますね。両端でx軸に漸近します。
入らないので(6)以降は後で送ります。
(6)分母0チェックは(5)と同じなので省略。ただ、今回は分子の方が次数が高いです。こういうときは割り算したくてウズウズなるくらいの感覚を持ちましょう。割り算(次数下げ)すると
x - x/(1+x²)ですね。昨日送った写真の③タイプの解説の最後にも書いていますが、xが大きくなればなるほど- x/(1+x²)は0に近づいていって、前のxの影響が大きくなっていくので、これはy=xを漸近線にもちますね。y=xに漸近するということは、横の漸近線はないということなので(当然、x→∞で斜めにも横にも近づくことなんてありえない)y=xだけが漸近線です。
(7) 定義域が指示されているので、この範囲で考えます。2つとも範囲内で連続関数なので縦の漸近線はないです。
次に横の漸近線ですが両端が決まっている以上、両端に交点を持つので存在しません。
(7) 連続なので縦の漸近線はないし、横の漸近線も両端が定まっている以上、ないので、漸近線はないです。
これに関しては、もし範囲が定められていなければx→-∞で0に近づき、x軸を漸近線にもつので、問題をよく読みましょう。
ちなみに、模試とか入試だと、類似した曲線でy= e^(-x)・sinxというのが超頻出です。(減衰曲線という、物理では摩擦や空気抵抗のある単振動などの減衰振動を表す)
微分、二階微分させて増減表とグラフを書かせて、0からπ/2における面積を部分積分で求めさせて、最後に囲む面積の極限を計算させる(面積が公比e^(-2π)の等比数列になるので無限等比級数になる)、という流れは超あるあるで、問題用紙を見た瞬間に「またこれかよ」と笑えるレベルで出るので、載ってはいないですが、一度グラフを書いてみてください。
とても詳しく全部教えてくださりありがとうございました！
初めて理解できました。
本当に助かりました！！
グラフ書いてみます！！
ありがとうございます！
もしよろしければ、写真の問題、どれがどれをどうして使うのか全部じゃなくていいので教えて頂けると有難いです！