Question

茄子子

この問題なのですが、解説は理解できましたが、何故自分の解き方だと答えが間違ってしまうのか分かりません。
なぜこの考え方だとダメなのか、教えていただきたいです。

例展
例題 221
3次関数の極大値と極小値の差
関数 f(x)=x°ー3x+3ax-2 の極大値と極小値の差が32となるとき,定数。
や例題20
関た
め
指針 前例題と同じ方針で進める。 x=α で極大値, x=B で極小値をとるとすると
極大値と極小値の差が32 → f(a)-f(B)=32
の値を求めよ。
指針
f(a), f(B)を実際に求めるのは面倒なのでf(α)-f(B) を α-B, a+B, aBで表し、
に(α-B)=(α+8)°-4aB を利用することで, α+B, aBのみで表すことができる。
解答 f'(x)=3.x-6x+3a
f(x)は極大値と極小値をとるから, 2次方程式 f'(x)%3D0 すな
わち 3x°-6x+3a=0
(α<B)をもつ。
よって, ①の判別式をDとすると
ー=(-3)-3-(3a)=9(1-a) であるから
0は異なる2つの実数解 α, B
4今回は差を考える。
で,α<B と定め。
D>0
1-a>0
答案
合え
したがって
a<1
2
f(x)のx°の係数が正であるから, f(x) は x=α で極大,
Aa<B から。
*=B で極小となる。
f(a)-f(B)=(α°-ー8)-3(α°-8")+3a(α-B)
=(α-B){(α'+aB+8°)-3(α+B)+3a}
=(a-B){(α+B)?-aB-3(α+B)+3a}
4定数項 -2 は消え。
ので,解と係数の関係により
α+B=2, aB=a
(α-B)*=(α+B)°-4aB=2"-4·a=4(1-a)
よって
α<Bより α-B<0 であるから
α-B=-2/1-a
f(a)-f(B)=-2/1-a(2?-a-3-2+3a)
=-2/1-a{-2(1-a)}
=4((1-a)
4(1-a)°=32
ゆえに
f(a)-f(B)=32 であるから
すなわち
41-a=(1-a
(1-a)=8
ゆえに, 1-a=4 から
よって
1-a=2
これは2を満たす。
a=-3
司f(a)- f(R)の計質」

例 2 (x)=ベ3- 3ペ+30x -2。より、f)= 3ペ-6x+3a
より、f(x)=3ペ-6x +3a
fa)が極大値、極水値をもつから、3xー6%+3a=0_は2つの要? る実教時
a、Pをもつ。③)の判別でそDとおくと、
D= 36- 36a: 36(1-a)
よって、a<l-@
③の解をおめると、
6:136-36a
ト。
D>ooり、
36(1-a)7 0
6±677-a
66
は-a
JT-a >0 リ、
4-a > 1- a
(たがっ7
1+1-0- (1-1-a)= 32
21-a
16
32
AT-a
1-a
256
-255 これは②を満たしている。
ン
a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

tra7345

あなたが求めているのは極値をとるときの
「ｘの値」を使ったものです。これが誤りです。

３２になるのは
｜ｆ（α）－ｆ（β）｜
の値です

茄子子

なるほど！迅速な回答ありがとうございます。助かりました！

Answer 2

あやめ芽

実数解をα、βとおいた
つまり
x＝αの時に〜
x＝βの時に〜
f(x)は極大値、極小値を持つ
その差が32

aはただのaです。。。

茄子子

丁寧に教えてくださりありがとうございます！