✨ ベストアンサー ✨
アイディアを紹介します。
円盤から正方形への写像を考えたいところですが、正方形の角が邪魔ですね。
そこで、正方形を対角線で分割して、4つの3角形に分割して考えてみましょう。
まず、3点(0, 0), (1, 1), (1, -1)で囲まれ図形を考えることにし、これをXとします。
この３角形に対応するよつに円盤も分割してあげましょう。
すると考えるべき集合は、
Y := {(x, y) : x^2 + y^2 and y≦x and y≧-x}
となります(正方形の対角線と同様な分割です)。
この仮定の下、同相写像 φ: X→Y を構成します。
まず、(x, y)∈Xをとると、これは以下のように書くことができます。
(x, y) = (rcosθ, rsinθ) (r∈[0, 1], θ∈[-π/4, π/4])
簡単にわかりますが、r=1のとき円盤の周上の点です。
φは同相写像にしたいので、 r=1 のときはYの(1, 1), (1, -1)の線分上に写すよう(境界上に写すように)に定義したいです。
これはどうやって実現すればよいかと言うと、原点に対して、(x, y)に適当な拡張を施して先ほどの線分上に写してやればよいです。
円盤の内部の点についても、同じ拡張を施すようにφを定義することとします。
よって、(図形的に考えれば)
φ(x, y) = φ(rcosθ, rsinθ) =(rcosθ / cosθ, rsinθ・cosθ)
と定めれば良いこととがわかります。
このφは X から Y への同相写像となります。
これを他の分割に対しても考えてやり、解答を整理すればできると思いますよ。
写像に誤植がありますね。すみませんでした。
正しくは、
φ(x, y) = φ(rcosθ, rsinθ) =(rcosθ / cosθ, rsinθ / cosθ)
また、仮定にも書いておりますが、今考えてるXにおいては、(0, 1)は属しておりません。
他の分割された三角形に(0, 1)は属しています。
私のは分割したもので同相写像を構成しております。
この発想により、他の分割にも同様に考察でき、それによって本来欲しい同相写像を構成するきっかけとすることができます。
さらに誤植がありました。
φ:Y→X
で構成してますね。
すみません。(0, 1)は確かに属していないですね。
これは勘違いでした。
もう少し自分の中で整理してみたいと思います。
また質問するかも知れませんのでその時はよろしくお願い致します。
ベストアンサーは少し保留させてください。
了解しました。
位相あたりは難しいですよね。
じっくり考えてみてください。
恐らく解決できそうです。
Takさんのideaを整理してみたところ単位閉円板の原点以外の点x+iyに対して、その点と原点を通る直線と[-1,1]^2の境界との交点をr(x+iy)とおく時、x+iyをr(x+iy)の大きさだけ拡大してあげれば欲しい写像が得られますね。
この様にしてあげれば円の分割も自然に浮かび上がりますし全射であることも容易に分かります。
ご教授頂きありがとうございました。
追記:3行目の「その点」はx+iyを(x, y)と自然に同一視した点の意味です。
解決できそうでよかったです。
位相はほとんどの分野で必須になると思いますので、この調子で勉強頑張ってください。
発想はよく分かりました。
ただφの定め方と同型である理由がいまいち分かりません。
同型である事を示すには全単射連続であることが言えればXはコンパクト, Yがハウスドルフなので同型になると思うのですがTakさんの定めたφは全単写でしょうか？例えば(0,1) ∈Yに移る(x,y)はない様に思うのですが…
また発想から写像の定め方が分かれば逆写像を構成しても示せる気がしています。