Question

ぷりん🍮

1枚目の写真も2枚目の写真の問題もどちらも円の線形計画の問題なのですが丸で囲んだように判別式を≦と=にしている違いはなんですか？

(解説)
不等式x+y°S5 の表す領域をMとすると, Mは
円x?+y=5およびその内部である。
2x+ y=k .
&(最大)
V5
の
とおくと,これは傾きが -2, y切片がkの直線を
表す。
この直線のが領域 Mと共有点をもつようなkの値
V5
x
V5
V5
の最大値と最小値を求めればよい。
直線のと円x?+y?=5が共有点をもつのは,
x°+(-2x+k)?=5
すなわち 5x?-4kx+1k°-5=0
の判別式をDとすると, (D20めときである。
(最小)
D
ー=(-2)?-5(?-5) =-+25
4
ー+2520
この不等式を解いて
から
-5<kS5
k=5
のとき
x=2,
ア=1
k=-5 のとき
x=-2, y=-1
したがって
エ=2,
y=1のとき
最大値5
X=-2, y=-1のとき 最小値 -5

yy
234 連立不等式
x*+y°<4, y20
を満たす点(x, y)の存在
する領域は右図の斜線部
分である。ただし, 境界
線を含む。
2xーy=k
とおくと,①は傾きが2, y切片が -kの直線を
表す。
図から,直線①が点 (2, 0) を通るとき -kの値
は最小となる。すなわち, kの値は最大となる。
このとき
また,領域上で直線① が円 x?+y=4に接する
ときーkの値は最大となる。すなわち, kの値は
最小となる。
|2
2
X
の
2)
k=2-2-0=4
のから
y=2x-k
2
これをx?+y°=4に代入して
x+(2x-k)?=4
5x-4kx+k?-4=0
この2次方程式の判別式を Dとすると
よって
D
ー=(-2k)?-5(k?-4)3Dーk°+20
4
直線のが円に接するとき,D=0であるから
ー+20=0
よって
接点が領域上にあるとき, 接線②のy切片は正
k=±25
であるから
k=-2V5 ()

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ととろ

解答の論理構成の違いでしょうね。

左は式と説明だけで解答として完結しています。判別式≧0 からkの範囲を、そこから最大最小を導いています。
図は学習者の理解のためにつけてくれているだけで、図も接するという条件も必要ありません。

右は先に「最大値を取るのは接する場合である」ということを図を使って導いています。図と接するという条件は解答の一部になっています。
先に接するという条件を導いているので、判別式は接する場合の0だけ確認すれば良いという論理展開になっています。

ぷりん🍮

写真が3枚までしか載せらせなかったので問題を載せなかったのですがこの２つの問題をテストで変えられた時にどっちを使えばいいのか分からないのですがどこを基準にD=0かD≧0を使えば良いのですか？

ととろ

一般に判別式だけ使う方が手間が少ないと言えるでしょう。
x,yに条件のない左の問題は判別式だけで解くことができます。もちろん、図を描いて「接する」の条件を用いても構いません。

右の問題はy≧0の条件があるので判別式だけでは答えは導けないでしょう。判別式≧0から言えるのはx,yが実数であることだけでyの正負まではわからないからです。

ぷりん🍮

そうだったのですね！
じゃあ円の線形計画の問題が出たら基本は図を書いてD=0で接点を求めるので良いってことですか？
理解力がなくてすみません💦

ととろ

それでも良いですが、逆に図を描くのが面倒な場合もあったりするので、問題によって使い分けできると良いですね

ぷりん🍮

なるほど…
問題によって使い分けられるように頑張ります！
追加の質問にまで丁寧に答えてくださりありがとうございます！！

Answer 2

ふじい

『円周上の2点で交わるor円に接する』か『円に接するのみ』かの違いです

ぷりん🍮

回答していただきありがとうございます！
無事解決しました！

Answer 3

きじゅ

問題を見てないのでなんとも言えませんが、接してる時はD＝0で2点で交わるまたは接しているのならD>=0となります。
よく分からない所があったら気軽にご連絡下さい❗️

ぷりん🍮

回答していただきありがとうございます！
無事解決しました！