Question

MMM

（3）がわからないです。どうしてrを二乗するんですか？二乗しなかったらバツになるのが分からないので教えて頂きたいです。

308 V3 が無理数であることを用いて,次の数が無理数であること
を証明せよ。
AvE tor ig
2)
2 +/6
13)
3 +V5
206
4宙粉レまる
か
もこば

)証明)
店十から は無理数がなく有理数であるとする
有理数はとと表すと とド5+ドら
両辺 2条 でドー2ド3と+3:5.
ド-2
2F31:2-2. N5=+ 5
2ト
とが有理数なので r-Nらも有理数
よってド好が無理教であることに予育するので
15 N がらは無理数

める。
(3) V3 +V5 は無理数でないと仮定すると,
V3 +V5 は有理数である。
その有理数をrとするとV3 + V5=r から
アーV3 = V5
両辺を2乗すると
2/3ァ=r-2
p2-23r+3=5
よって
V3=-2
2r
アキ0 であるから
y2-2
rが有理数のとき
は有理数であるから,
2r
この等式はV3が無理数であることに矛盾する。
したがって,V3 +V5 は無理数である。

Answer 1

こんぱち

バツになるというか、2乗しないことには証明できません
(もし仮に√5が無理数であると別で証明して、√3＋√5が無理数だ、と主張したとしても、
「無理数＋無理数が必ず無理数」という保証がないので、証明として不完全です。)
そこで、問題文にあるとおり、√3が無理数であることをうまく利用するためには、√5の方には消えてもらいたいわけです。
すると、2乗して√を外す、という定番の方法に行き着きます。

Answer 2

aporon

rが有理数であれば、r-√5は無理数ですね

そもそもですが、数の性質やらを理解せずに例題の手順のみを追っているような感じがしますので、手法も大事ですが、性質を理解しましょう

有理数とは、２つの整数a,bを用いてa/bの形にできるものを言います
なので、背理法の目標としては、√3=有理数の形にして矛盾を導くという流れが大事ですね

あなたの手法でいくと、r-√5が無理数である以上、矛盾が導けません
なので、2乗してみることで√3=有理数の形にできることからこの手法をとっているだけですね