Question

IK

373,374で、3√2が有理数でないことを示すときには、1以外の公約数を持たない自然数　という文があるのに、log3 8が有理数でないことを示す時にはないのはなぜですか？

N373 log38 は無理数であることを証明せよ。
374 2 は無理数であることを証明せよ。

2 る
logs8 - b
log1o2< log1oa < log1o03
cas3
と表すことができる。Oの両辺にgを描
よって
1005
ゆえに,最高位の数字は 2
けて
qlog38 = p よって log38° =b
応用例題コーナー
372(1) log}(2-x-y)>1+2log号x
真数は正であるから
2-x-y> 0, x>0
すなわち
89 = 3°
ここで,p, qは自然数であるから、 左辺
は偶数であるが,右辺は奇数であり、
…D
よって y<-x+2, x> 0
与えられた不等式は
×03010-0
log} (2-xーy)> log 2
れは矛盾である。
ゆえに,logs8 は無理数である。
374 /2 が有理数であると仮定すると、1w
の公約数をもたない2つの自然数か, 0%
1
x?
底っは0より大きく1より小さいから
A8
2-xーyくう
用いて
2
p
1
g
と表すことができる。①の両辺を3乗して
1
OTE
よって
SンSnle
Gxーx+2
y>
2
180l
2= -
g3
よって 2g°= が
1
5
この左辺は2で割り切れるから, がは
数である。
よって,かも偶数である。
ゆえに,かはある自然数んを用いて、,
p=2kと表すことができる。
これを2の右辺に代入すると
2g° = (2k)よって g°=4
となり,g°は偶数であるから, qも偶数
である。
2
2
0, 2より点
(x, y)の存在領域
は右の図の斜線部
分である。ただし,
境界線は含まない。
5
2
ソ=ーx+2
に、
2
-1 0
-xパーx+2
ソ=ー
2
(2) logxy>1
真数は正であるから
y>0
Dに
底の条件より
x> 0, x キ1
したがって,p, gはともに偶数となる。
しかし,これはp, gが1以外の公約数を
もたないということに矛盾する。
ゆえに,2 は無理数である。
与えられた不等式は
logxy> logxX
(i) 0<x<1のとき y<x
…3
(i) x>1のとき
y>x
0, 2, 3, ④より点(x, y) の存在
領域は次の図の斜線部分である。 ただし,
境界線は含まない。
練習問題
375(1) 1+a
(3号-3
2
=1+-(3-2-35.3号+3号)
/y=x
4
0
4
Ix=10 北
273 log.8 が有理数であると仮定すると, 2つ
=+3+2)
ミ
の自然数p, qを用いて
=t+3
うま

Answer 1

ととろ

374で仮定の矛盾を示すのに 1以外の公約数を持たない という条件を使っている
375はその条件を使わずに矛盾を導いているので 1以外の公約数を持っても構わない

ととろ

✕375
○373

IK

なるほど！
なぜ、374では　1以外の公約数を持たない自然数とする必要があるのでしょうか？
また、373では　なぜその条件を使わなくていいのでしょうか？

ととろ

それは解説を読めば書いてあります。

IK

log3 8 は、3を分数倍しても整数倍しても8になる可能性はある　という風に進めていって
3√2 は、整数にならない(？)から、分数になるかどうかを考えている　という事でしょうか？

ととろ

1以外の公約数を持たない=既約である

373は 8^q=3^p の左辺が偶数で右辺が奇数だからおかしい(矛盾)と言っている
pとqが規約であろうがなかろうが矛盾している
374は 2q³=p³ からpが偶数であり、また q³=4k³ からqも偶数であると言っている。pもqも偶数なら共通の約数2を持つから既約ではない(矛盾)、p,qが既約という条件をつけなければこの矛盾は導けない

ととろ

そもそも有理数とは何か？
ある整数p,q (a,bでも何でも良い)を使って p/q で表せるものを有理数という。
それがわかっていたら
＞整数にならないから分数になるかどうかを考えている？
という疑問は出て来ないと思います

IK

解く前にある程度予測して書いていかなければならないという事でしょうか？